Олимпиадные задачи из источника «глава 8. Алгебра + геометрия» для 5-11 класса - сложность 1 с решениями

Докажите формулу:<div align="CENTER"> arccos <i>x</i> = $\displaystyle \left{\vphantom{\begin{array}{ll}\arcsin \sqrt{1-x^2},&\mbox{есл... ...arcsin \sqrt{1-x^2},&\mbox{если }-1\leqslant x\leqslant 0. \end{array}}\right.$$\displaystyle \begin{array}{ll}\arcsin \sqrt{1-x^2},&\mbox{если }0\leqslant x... ...\ \pi-\arcsin \sqrt{1-x^2},&\mbox{если }-1\leqslant x\leqslant 0. \end{array}$ </div>

Докажите равенство:<div align="CENTER"> <i>arctg</i> <i>x</i> + <i>arctg</i> <i>y</i> = <i>arctg</i> $\displaystyle {\frac{x+y}{1-xy}}$ + $\displaystyle \varepsilon$$\displaystyle \pi$, </div>где$\varepsilon$= 0, если<i>xy</i>< 1,$\varepsilon$= - 1 , если<i>xy</i>> 1 и<i>x</i>< 0,$\varepsilon$= + 1, если<i>xy</i>> 1 и<i>x</i>> 0.

Чему равна сумма<i>arctg</i> <i>x</i>+<i>arcctg</i> <i>x</i>

Докажите формулы:<div align="CENTER"> arcsin(- <i>x</i>) = - arcsin <i>x</i>,    arccos(- <i>x</i>) = $\displaystyle \pi$ - arccos <i>x</i>. </div>

Докажите равенства:<div align="CENTER"> <i>arctg</i> <i>x</i> + <i>arcctg</i> <i>x</i> = $\displaystyle {\dfrac{\pi}{2}}$;    arcsin <i>x</i> + arccos <i>x</i> = $\displaystyle {\dfrac{\pi}{2}}$. </div>

Вычислите: а)arccos$\left[\vphantom{\sin\left(-\frac{\pi}{7}\right)}\right.$sin$\left(\vphantom{-\frac{\pi}{7}}\right.$-${\frac{\pi}{7}}$$\left.\vphantom{-\frac{\pi}{7}}\right)$$\left.\vphantom{\sin\left(-\frac{\pi}{7}\right)}\right]$; б)arcsin$\left(\vphantom{\cos\frac{33\pi}{5}}\right.$cos${\frac{33\pi}{5}}$$\left.\vphantom{\cos\frac{33\pi}{5}}\right)$.

Докажите, что функцияcos$\sqrt{x}$не является периодической.

Решите уравнение:<div align="CENTER"> cos$\displaystyle \pi$$\displaystyle {\frac{x}{31}}$cos 2$\displaystyle \pi$$\displaystyle {\frac{x}{31}}$cos 4$\displaystyle \pi$$\displaystyle {\frac{x}{31}}$cos 8$\displaystyle \pi$$\displaystyle {\frac{x}{31}}$cos 16$\displaystyle \pi$$\displaystyle {\frac{x}{31}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{32}}$. </div>

Вычислите следующие произведения: а)sin 20^<tt>o</tt>sin 40^<tt>o</tt>sin 60^<tt>o</tt>sin 80^<tt>o</tt>; б)cos 20^<tt>o</tt>cos 40^<tt>o</tt>cos 60^<tt>o</tt>cos 80^<tt>o</tt>.

Докажите, что точка  <i>m</i> = ¹/₃ (<i>a</i>₁ + <i>a</i>₂ + <i>a</i>₃)  является точкой пересечения медиан треугольника <i>a</i>₁<i>a</i>₂<i>a</i>₃.

Докажите, что прямая, проходящая через точки <i>z</i>₁ и <i>z</i>₂ – это геометрическое место точек <i>z</i>, для которых  <img width="57" height="47" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61178/problem_61178_img_2.gif"> = <img width="57" height="49" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61178/problem_61178_img_3.gif">.

z₂, <i>z</i>₁, <i>z</i>₀ лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61177/problem_61177_img_2.gif">   – вещественное число, или   <img width="57" height="47" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61177/problem_61177_img_3.gif"> = <img width="57" height="49" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61177/problem_61177_img_4.gif">.

Докажите, что угол между прямыми, пересекающимися в точке <i>z</i>₀ и проходящими через точки <i>z</i>₁ и <i>z</i>₂, равен аргументу отношения  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61176/problem_61176_img_2.gif">

Пусть <i>z</i>₁ и <i>z</i>₂ – фиксированные точки комплексной плоскости. Дайте геометрическое описание множеств всех точек <i>z</i>, удовлетворяющих соотношениям:

  а)  arg <img width="50" height="47" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61175/problem_61175_img_2.gif"> = 0;   б)  arg <img width="50" height="47" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61175/problem_61175_img_3.gif"> = 0.