Олимпиадные задачи из источника «параграф 4. Системы линейных уравнений» для 8 класса
параграф 4. Системы линейных уравнений
НазадИмеется система уравнений *<i>x + *y + *z</i>= 0, *<i>x + *y + *z</i>= 0, *<i>x + *y + *z</i>= 0.Два человека поочерёдно вписывают вместо звёздочек числа.
Доказать, что начинающий всегда может добиться того, чтобы система имела ненулевое решение.
Решите системы уравнений: а) <i>x</i><sub>1</sub> + <i>x</i><sub>2</sub> + <i>x</i><sub>3</sub> = 0,
<i>x</i><sub>2</sub> + <i>x</i><sub>3</sub> + <i>x</i><sub>4</sub> = 0,
  ...
<i>x</i><sub>99</sub> + <i>x</i><sub>100</sub> + <i>x</i><sub>1</sub> = 0,
<i>x</i><sub>100</sub> + <i>x</i><sub>1</sub> + <i>x</i><sub>2</sub> = 0; б) <i>x + y + z = a</i>,
<i>y + z + t = b</i>,
<i>y + z + t = c</i>,
<...
Составьте систему, состоящую из двух линейных уравнений, для которой строки (1, 1, 1, 1) и (1, 2, 2, 1) служат решениями.
За круглым столом сидят 4 гнома. Перед каждым стоит кружка с молоком. Один из гномов переливает ¼ своего молока соседу справа. Затем сосед справа делает то же самое. Затем то же самое делает следующий сосед справа и наконец четвёртый гном ¼ оказавшегося у него молока наливает первому. Во всех кружках вместе молока 2 л. Сколько молока было первоначально в кружках, если
а) в конце у всех гномов молока оказалось поровну?
б) в конце у всех гномов оказалось молока столько, сколько было в начале?
На рисунках изображены разбиения прямоугольников на квадраты. Найдите стороны этих квадратов, если в первом случае сторона наименьшего квадрата равна 1, а во втором — 2. а) <img width="105" height="89" align="BOTTOM" border="0" src="/storage/problem-media/61342/problem_61342_img_2.gif" alt="\begin{picture} (75,65)\put(0,0){\line(1,0){65}}\put(0,55){\line(1,0){65}} \pu... ...e(0,1){20}}\put(65,0){\line(0,1){55}} \put(30,20){\line(0,1){35}} \end{picture}">
б) <img width="111" height="98" align="BOTTOM" border="0" src="/storage/problem-media/61342/problem_61342_img_3.gif" alt="\begin{picture} (55,65)\put(0,0){\line(1,0){69}}\put(0,61){\line(1,0){69}}\put(... ...(0,1){25...
Решите системы а) <img width="20" height="92" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61341/problem_61341_img_2.gif"><img width="190" height="92" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61341/problem_61341_img_3.gif">б) <img width="20" height="92" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61341/problem_61341_img_4.gif"><img width="203" height="92" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61341/problem_61341_img_5.gif"> в) <img width="20" height="92" align="MIDDLE" border="0"...
Коля Васин гулял после школы пять часов. Сначала он шёл по горизонтальной дороге, затем поднялся в гору и, наконец, по старому маршруту возвратился назад в исходный пункт. Его скорость была 4 км/ч на горизонтальном участке пути, 3 км/ч при подъеме в гору и 6 км/ч – при спуске с горы. Какое расстояние прошёл Коля Васин?