Олимпиадные задачи из источника «глава 11. Остатки» для 9 класса - сложность 2-3 с решениями

Доказать, что остаток от деления простого числа на 30 – простое число или единица.

Через <i>n</i>!! обозначается произведение  <i>n</i>(<i>n</i> – 2)(<i>n</i> – 4)...  до единицы (или до двойки): например,  8!! = 8·6·4·2;  9!! = 9·7·5·3·1.

Докажите, что  1985!! + 1986!!  делится на 1987.

2^<i>n</i> = 10<i>a + b</i>.  Доказать, что если  <i>n</i> > 3,  то <i>ab</i> делится на 6.  (<i>n, a</i> и <i>b</i> – целые числа,  <i>b</i> < 10.)

Докажите, что множество простых чисел вида  <i>p</i> = 6<i>k</i> + 5  бесконечно.

Докажите, что множество простых чисел вида  <i>p</i> = 4<i>k</i> + 3  бесконечно.

Пусть натуральное число <i>n</i> таково, что  <i>n</i> + 1  делится на 24. Докажите, что сумма всех натуральных делителей <i>n</i> делится на 24.