Олимпиадные задачи из источника «глава 14. Разные задачи» для 3-6 класса - сложность 2-3 с решениями
глава 14. Разные задачи
НазадИмеются две одинаковых шестеренки по 14 зубьев на общей оси. Их совместили и выбили четыре пары зубьев.
Доказать, что шестеренки можно повернуть так, что они образуют полноценную шестеренку (без дырок).
Несколько человек построились в два ряда. Каждый во втором ряду выше стоящего перед ним. Доказать, что если каждый ряд построить по росту, то это свойство сохранится.
Несколько человек стоят прямоугольником. В каждой шеренге выбрали самого нижнего, в каждом ряду самого высокого. Кто выше: самый низкий из высоких или самый высокий из низких?
В поселке 100 домов. Какое наибольшее число замкнутых не пересекающихся заборов можно построить, чтобы каждый забор огораживал хотя бы один дом и никакие два забора не огораживали бы одну и ту же совокупность домов?
12 шахматистов сыграли турнир в один круг. Потом каждый из них написал 12 списков. В первом только он, в (<i>k</i>+1)-м – те, кто были в <i>k</i>-м и те, у кого они выиграли. Оказалось, что у каждого шахматиста 12-й список отличается от 11-го. Сколько было ничьих?
Имеется бесконечная арифметическая прогрессия с натуральными членами. Доказать, что найдётся член, в котором есть 100 девяток подряд.
В прямоугольнике 3×<i>n</i> стоят фишки трёх цветов, по <i>n</i> штук каждого цвета.
Доказать, что можно переставить фишки в каждой строке так, чтобы в каждом столбце были фишки всех цветов.
В центре куба<img width="69" height="29" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/31367/problem_31367_img_2.gif">сидит жук. Доказать, что он, переползая через ребра, не сможет обойти все кубики<img width="69" height="29" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/31367/problem_31367_img_3.gif">по одному разу.
Матч между двумя футбольными командами закончился со счетом 8:5. Доказать, что был момент, когда первая команда забила столько же мячей, сколько второй оставалось забить.
12 команд сыграли турнир по волейболу в один круг. Две команды одержали ровно по 7 побед.
Доказать, что найдутся такие команды <i>А, В, С</i>, что <i>А</i> выиграла у <i>В, В</i> выиграла у <i>С</i>, а <i>С</i> – у <i>А</i>.
В 15-этажном доме имеется лифт с двумя кнопками: "+7" и "–9" (см. задачу <a href="https://mirolimp.ru/tasks/131354">131354</a>). Можно ли проехать с 3-го этажа на 12-й?
Лифт в 100-этажном доме имеет 2 кнопки: "+7" и "–9" (первая поднимает лифт на 7 этажей, вторая опускает на 9).Можно ли проехать:
a) с 1-го на 2-й;
б) со 2-го на 1-й;
в) с любого на любой этаж?
В автобусе едут 20 пассажиров, и у каждого много монет по 10, 15 и 20 копеек. Каждый должен заплатить 5 копеек.
Могут ли они сделать это, использовав (в том числе и для обмена между собой) а) 24 монеты; б) 25 монет?
В комнате стоят несколько четырёхногих стульев и трёхногих табуреток. Когда на всех стульях и табуретках сидит по человеку, в комнате всего 39 ног. Сколько в комнате стульев и сколько табуреток?