Олимпиадные задачи из источника «параграф 3. Вписанная, описанная и вневписанная окружности; их радиусы» для 8-11 класса - сложность 2 с решениями
параграф 3. Вписанная, описанная и вневписанная окружности; их радиусы
НазадДокажите, что <i>r</i><sub>a</sub>+<i>r</i><sub>b</sub>+<i>r</i><sub>c</sub>= 4<i>R</i>+<i>r</i>.
Докажите, что<div align="CENTER"> $\displaystyle {\frac{1}{(p-a)(p-b)}}$ + $\displaystyle {\frac{1}{(p-b)(p-c)}}$ + $\displaystyle {\frac{1}{(p-c)(p-a)}}$ = $\displaystyle {\frac{1}{r^2}}$. </div>
Докажите, что${\frac{1}{h_a}}$+${\frac{1}{h_b}}$+${\frac{1}{h_c}}$=${\frac{1}{r_a}}$+${\frac{1}{r_b}}$+${\frac{1}{r_c}}$=${\frac{1}{r}}$.
Докажите, что ${\frac{2}{h_a}}$=${\frac{1}{r_b}}$+${\frac{1}{r_c}}$.
Докажите, что <i>S</i>=<i>cr</i><sub>a</sub><i>r</i><sub>b</sub>/(<i>r</i><sub>a</sub>+<i>r</i><sub>b</sub>).
Докажите, что <i>S</i>=<i>r</i><sub>c</sub><sup>2</sup><i>tg</i>($\alpha$/2)<i>tg</i>($\beta$/2)<i>ctg</i>($\gamma$/2).