Олимпиадные задачи из источника «параграф 4. Длины сторон, высоты, биссектрисы» для 1-10 класса - сложность 2-5 с решениями
параграф 4. Длины сторон, высоты, биссектрисы
НазадДокажите, что длину биссектрисы <i>l</i><sub>a</sub>можно вычислить по следующим формулам: а) <i>l</i><sub>a</sub>=$\sqrt{4p(p-a)bc/(b+c)^2}$; б) <i>l</i><sub>a</sub>= 2<i>bc</i>cos($\alpha$/2)/(<i>b</i>+<i>c</i>); в) <i>l</i><sub>a</sub>= 2<i>R</i>sin$\beta$sin$\gamma$/cos(($\beta$-$\gamma$)/2); г) <i>l</i><sub>a</sub>= 4<i>p</i>sin($\beta$/2)sin($\gamma$/2)/(sin$\beta$+ sin$\gamma$).
Докажите, что<div align="CENTER"><!-- MATH \begin{multline*} h_a=2(p-a)\cos(\beta /2)\cos(\gamma /2)/\cos(\alpha /2)=\ =2(p-b)\sin(\beta /2)\cos(\gamma /2)/\sin(\alpha /2). \end{multline*} --> <img width="523" height="59" align="BOTTOM" border="0" src="/storage/problem-media/57617/problem_57617_img_2.gif" alt="\begin{multline*} h_a=2(p-a)\cos(\beta /2)\cos(\gamma /2)/\cos(\alpha /2)=\ =2(p-b)\sin(\beta /2)\cos(\gamma /2)/\sin(\alpha /2). \end{multline*}"></div><br clear="ALL">