Задача
Докажите, что длину биссектрисы laможно вычислить по следующим формулам: а) la=$\sqrt{4p(p-a)bc/(b+c)^2}$; б) la= 2bccos($\alpha$/2)/(b+c); в) la= 2Rsin$\beta$sin$\gamma$/cos(($\beta$-$\gamma$)/2); г) la= 4psin($\beta$/2)sin($\gamma$/2)/(sin$\beta$+ sin$\gamma$).
Решение
а) Пусть продолжение биссектрисы ADпересекает описанную окружность треугольника ABCв точке M. Тогда AD . DM=BD . DCи, так как $\triangle$ABD$\sim$$\triangle$AMC, AB . AC=AD . AM=AD(AD+DM) =AD2+BD . DC. Кроме того, BD=ac/(b+c) и DC=ab/(b+c). Значит, AD2=bc-bca2/(b+c)2= 4p(p-a)bc/(b+c)2. б) См. решение задачи 4.47. в) Пусть AD — биссектриса, AH — высота треугольника ABC. Тогда AH=csin$\beta$= 2Rsin$\beta$sin$\gamma$. С другой стороны, AH=ADsin ADH=lasin($\beta$+ ($\alpha$/2)) =lasin(($\pi$+$\beta$-$\gamma$)/2) =lacos(($\beta$-$\gamma$)/2). г) Учитывая, что p= 4Rcos($\alpha$/2)cos($\beta$/2)cos($\gamma$/2) (задача 12.36, в) и sin$\beta$+ sin$\gamma$= 2 sin(($\beta$+$\gamma$)/2)cos(($\beta$-$\gamma$)/2) = 2 cos($\alpha$/2)cos(($\beta$-$\gamma$)/2), приходим к формуле задачи в).
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь