Олимпиадные задачи из источника «параграф 3. Неравенства» - сложность 4-5 с решениями

Из точки <i>O</i>выходит <i>n</i>векторов единичной длины, причем в любой полуплоскости, ограниченной прямой, проходящей через точку <i>O</i>, содержится не менее <i>k</i>векторов (предполагается, что граничная прямая входит в полуплоскость). Докажите, что длина суммы этих векторов не превосходит<i>n</i>- 2<i>k</i>.

Пусть<b>a</b>₁,<b>a</b>₂,...,<b>a</b>_n — векторы, длины которых не превосходят 1. Докажите, что в сумме<b>c</b>= ±<b>a</b>₁±<b>a</b>₂...±<b>a</b>_nможно выбрать знаки так, что|<b>c</b>|$\le$$\sqrt{2}$.

На окружности радиуса 1 с центром <i>O</i>дано 2<i>n</i>+ 1 точек<i>P</i>₁,...,<i>P</i>_{2n + 1}, лежащих по одну сторону от некоторого диаметра. Докажите, что|$\overrightarrow{OP}{1}^{}$+...+$\overrightarrow{OP}{2n+1}^{}$|$\ge$1.