Олимпиадные задачи из источника «глава 15. Параллельный перенос» - сложность 1-2 с решениями

Внутри параллелограмма <i>ABCD</i> выбрана точка <i>O</i>, причём  ∠<i>OAD</i> = ∠<i>OCD</i>.  Докажите, что  ∠<i>OBC</i> = ∠<i>ODC</i>.

Даны две окружности <i>S</i>₁,<i>S</i>₂и прямая <i>l</i>. Проведите прямую <i>l</i>₁, параллельную прямой <i>l</i>, так, чтобы: а) расстояние между точками пересечения <i>l</i>₁с окружностями <i>S</i>₁и <i>S</i>₂имело заданную величину <i>a</i>; б)<i>S</i>₁и <i>S</i>₂высекали на <i>l</i>₁равные хорды; в)<i>S</i>₁и <i>S</i>₂высекали на <i>l</i><sub>1</sub&g...

Дан угол<i>ABC</i>и прямая <i>l</i>. Постройте прямую, параллельную прямой <i>l</i>, на которой стороны угла<i>ABC</i>высекают отрезок данной длины <i>a</i>.

Дан треугольник<i>ABC</i>. Точка <i>M</i>, расположенная внутри треугольника, движется параллельно стороне<i>BC</i>до пересечения со стороной<i>CA</i>, затем параллельно<i>AB</i>до пересечения с <i>BC</i>, затем параллельно<i>AC</i>до пересечения с <i>AB</i>и т. д. Докажите, что через некоторое число шагов траектория движения точки замкнется.

Внутри прямоугольника<i>ABCD</i>взята точка <i>M</i>. Докажите, что существует выпуклый четырехугольник с перпендикулярными диагоналями длины<i>AB</i>и <i>BC</i>, стороны которого равны<i>AM</i>,<i>BM</i>,<i>CM</i>,<i>DM</i>.

Две окружности радиуса <i>R</i>пересекаются в точках <i>M</i>и <i>N</i>. Пусть <i>A</i>и <i>B</i> — точки пересечения серединного перпендикуляра к отрезку<i>MN</i>с этими окружностями, лежащие по одну сторону от прямой<i>MN</i>. Докажите, что<i>MN</i>²+<i>AB</i>²= 4<i>R</i>².

Две окружности радиуса <i>R</i>касаются в точке <i>K</i>. На одной из них взята точка <i>A</i>, на другой — точка <i>B</i>, причем$\angle$<i>AKB</i>= 90^<tt>o</tt>. Докажите, что<i>AB</i>= 2<i>R</i>.

Докажите, что при параллельном переносе окружность переходит в окружность.