Олимпиадные задачи из источника «параграф 2. Свойства симметрии»

На отрезке<i>AB</i>дано <i>n</i>пар точек, симметричных относительно его середины;<i>n</i>точек окрашено в синий цвет, остальные — в красный. Докажите, что сумма расстояний от <i>A</i>до синих точек равна сумме расстояний от <i>B</i>до красных точек.

а) Докажите, что ограниченная фигура не может иметь более одного центра симметрии. б) Докажите, что никакая фигура не может иметь ровно двух центров симметрии. в) Пусть <i>M</i> — конечное множество точек на плоскости. Точку <i>O</i>назовем к почти центром симметриик множества <i>M</i>, если из <i>M</i>можно выбросить одну точку так, что <i>O</i>будет центром симметрии оставшегося множества. Сколько к почти центров симметриик может иметь <i>M</i>?

Докажите, что если точку отразить симметрично относительно точек <i>O</i>₁,<i>O</i>₂и <i>O</i>₃, а затем еще раз отразить симметрично относительно этих же точек, то она вернется на место.

а) Докажите, что композиция двух центральных симметрий является параллельным переносом. б) Докажите, что композиция параллельного переноса и центральной симметрии (в обоих порядках) является центральной симметрией.