Олимпиадные задачи из источника «параграф 3. Неравенства и экстремумы»
параграф 3. Неравенства и экстремумы
НазадВ данный остроугольный треугольник впишите треугольник наименьшего периметра.
Дана прямая <i>l</i>и две точки <i>A</i>и <i>B</i>по одну сторону от нее. Найдите на прямой <i>l</i>точку <i>X</i>так, чтобы длина ломаной<i>AXB</i>была минимальна.
Докажите, что площадь любого выпуклого четырехугольника не превосходит полусуммы произведений противоположных сторон.
Вписанная окружность треугольника<i>ABC</i>касается сторон<i>AC</i>и <i>BC</i>в точках <i>B</i><sub>1</sub>и <i>A</i><sub>1</sub>. Докажите, что если<i>AC</i>><i>BC</i>, то<i>AA</i><sub>1</sub>><i>BB</i><sub>1</sub>.
В треугольнике<i>ABC</i>проведена медиана<i>AM</i>. Докажите, что2<i>AM</i>$\ge$(<i>b</i>+<i>c</i>)cos($\alpha$/2).
На биссектрисе внешнего угла <i>C</i>треугольника<i>ABC</i>взята точка <i>M</i>, отличная от <i>C</i>. Докажите, что<i>MA</i>+<i>MB</i>><i>CA</i>+<i>CB</i>.