Олимпиадные задачи из источника «параграф 4. Композиции симметрий» - сложность 2-5 с решениями
параграф 4. Композиции симметрий
НазадВпишите в данную окружность<i>n</i>-угольник, одна из сторон которого проходит через данную точку, а остальные стороны параллельны данным прямым.
Дано <i>n</i>прямых. Постройте<i>n</i>-угольник, для которого эти прямые являются: а) серединными перпендикулярами к сторонам; б) биссектрисами внешних или внутренних углов при вершинах.
а) Впишите в данную окружность<i>n</i>-угольник, стороны которого параллельны заданным <i>n</i>прямым. б) Через центр <i>O</i>окружности проведено <i>n</i>прямых. Постройте описанный около окружности<i>n</i>-угольник, вершины которого лежат на этих прямых.
Две прямые пересекаются под углом $\gamma$. Кузнечик прыгает с одной прямой на другую; длина каждого прыжка равна 1 м, и кузнечик не прыгает обратно, если только это возможно. Докажите, что последовательность прыжков периодична тогда и только тогда, когда$\gamma$/$\pi$ — рациональное число.
Вписанная окружность касается сторон треугольника <i>ABC</i> в точках <i>A</i><sub>1</sub>, <i>B</i><sub>1</sub> и <i>C</i><sub>1</sub>; точки <i>A</i><sub>2</sub>, <i>B</i><sub>2</sub> и <i>C</i><sub>2</sub> симметричны этим точкам относительно биссектрис соответствующих углов треугольника. Докажите, что <i>A</i><sub>2</sub><i>B</i><sub>2</sub> || <i>AB</i> и прямые <i>AA</i><sub>2</sub>, <i>BB</i><sub>2</sub> и <i>CC</i><sub>2</sub> пересекаются в одной точке.
Пусть<i>l</i><sub>3</sub>=<i>S</i><sub>l<sub>1</sub></sub>(<i>l</i><sub>2</sub>). Докажите, что<i>S</i><sub>l<sub>3</sub></sub>=<i>S</i><sub>l<sub>1</sub></sub><tt>o</tt><i>S</i><sub>l<sub>2</sub></sub><tt>o</tt><i>S</i><sub>l<sub>1</sub></sub>.
Даны три прямые <i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i>. Пусть<i>T</i>=<i>S</i><sub>a</sub><tt>o</tt><i>S</i><sub>b</sub><tt>o</tt><i>S</i><sub>c</sub>. Докажите, что<i>T</i><tt>o</tt><i>T</i> — параллельный перенос (или тождественное отображение).
Даны три прямые<i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i>. Докажите, что композиция симметрий<i>S</i><sub>c</sub><tt>o</tt><i>S</i><sub>b</sub><tt>o</tt><i>S</i><sub>a</sub>является симметрией относительно некоторой прямой тогда и только тогда, когда данные прямые пересекаются в одной точке.
а) Прямые <i>l</i><sub>1</sub>и <i>l</i><sub>2</sub>параллельны. Докажите, что<i>S</i><sub>l<sub>1</sub></sub><tt>o</tt><i>S</i><sub>l<sub>2</sub></sub>=<i>T</i><sub>2<b>a</b></sub>, где <i>T</i><sub><b>a</b></sub> — параллельный перенос, переводящий <i>l</i><sub>1</sub>в <i>l</i><sub>2</sub>, причем<b>a</b>$\perp$<i>l</i><sub>1</sub>. б) Прямые <i>l</i><sub>1</sub>и <i>l</i><sub>2</sub>пересекаются в точке <i>O</i>. Докажите, что<i>S</i&g...