Олимпиадные задачи из источника «параграф 4. Композиции симметрий» - сложность 3-4 с решениями
параграф 4. Композиции симметрий
НазадВписанная окружность касается сторон треугольника <i>ABC</i> в точках <i>A</i><sub>1</sub>, <i>B</i><sub>1</sub> и <i>C</i><sub>1</sub>; точки <i>A</i><sub>2</sub>, <i>B</i><sub>2</sub> и <i>C</i><sub>2</sub> симметричны этим точкам относительно биссектрис соответствующих углов треугольника. Докажите, что <i>A</i><sub>2</sub><i>B</i><sub>2</sub> || <i>AB</i> и прямые <i>AA</i><sub>2</sub>, <i>BB</i><sub>2</sub> и <i>CC</i><sub>2</sub> пересекаются в одной точке.
Пусть<i>l</i><sub>3</sub>=<i>S</i><sub>l<sub>1</sub></sub>(<i>l</i><sub>2</sub>). Докажите, что<i>S</i><sub>l<sub>3</sub></sub>=<i>S</i><sub>l<sub>1</sub></sub><tt>o</tt><i>S</i><sub>l<sub>2</sub></sub><tt>o</tt><i>S</i><sub>l<sub>1</sub></sub>.
Даны три прямые <i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i>. Пусть<i>T</i>=<i>S</i><sub>a</sub><tt>o</tt><i>S</i><sub>b</sub><tt>o</tt><i>S</i><sub>c</sub>. Докажите, что<i>T</i><tt>o</tt><i>T</i> — параллельный перенос (или тождественное отображение).
Даны три прямые<i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i>. Докажите, что композиция симметрий<i>S</i><sub>c</sub><tt>o</tt><i>S</i><sub>b</sub><tt>o</tt><i>S</i><sub>a</sub>является симметрией относительно некоторой прямой тогда и только тогда, когда данные прямые пересекаются в одной точке.