Олимпиадные задачи из источника «параграф 2. Поворот на 60 градусов» - сложность 5 с решениями

На сторонах выпуклого центрально симметричного шестиугольника<i>ABCDEF</i>внешним образом построены правильные треугольники. Докажите, что середины отрезков, соединяющих вершины соседних треугольников, образуют правильный шестиугольник.

Шестиугольник<i>ABCDEF</i>вписан в окружность радиуса <i>R</i>, причем<i>AB</i>=<i>CD</i>=<i>EF</i>=<i>R</i>. Докажите, что середины сторон<i>BC</i>,<i>DE</i>и <i>FA</i>образуют правильный треугольник.

Даны точка<i>X</i>и правильный треугольник<i>ABC</i>. Докажите, что из отрезков<i>XA</i>,<i>XB</i>и<i>XC</i>можно составить треугольник, причем этот треугольник вырожденный тогда и только тогда, когда точка<i>X</i>лежит на описанной окружности треугольника<i>ABC</i>(Помпею).