Олимпиадные задачи из источника «параграф 3. Повороты на произвольные углы» для 4-9 класса - сложность 1-3 с решениями
параграф 3. Повороты на произвольные углы
НазадТреугольник<i>A</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub>получен из треугольника<i>ABC</i>поворотом на угол $\alpha$($\alpha$< 180<sup><tt>o</tt></sup>) вокруг центра его описанной окружности. Докажите, что точки пересечения сторон<i>AB</i>и <i>A</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>1</sub>,<i>BC</i>и <i>B</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub>,<i>CA</i>и <i>C</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>1</sub>(или их продолжений) являются вершинами треугольника, подобного треугольнику<i>ABC</i>.
Для данного треугольника<i>ABC</i>, один из углов которого больше120<sup><tt>o</tt></sup>, найдите точку, сумма расстояний от которой до вершин минимальна.
По двум прямым, пересекающимся в точке <i>P</i>, равномерно с одинаковой скоростью движутся две точки: по одной прямой — точка <i>A</i>, по другой — точка <i>B</i>. Через точку <i>P</i>они проходят не одновременно. Докажите, что в любой момент времени описанная окружность треугольника<i>ABP</i>проходит через некоторую фиксированную точку, отличную от <i>P</i>.
На плоскости лежат две одинаковые буквы $\Gamma$. Концы коротких палочек этих букв обозначим <i>A</i>и <i>A'</i>. Длинные палочки разбиты на <i>n</i>равных частей точками<i>A</i><sub>1</sub>,...,<i>A</i><sub>n - 1</sub>;<i>A</i><sub>1</sub>',...,<i>A</i><sub>n - 1</sub>' (точки деления нумеруются от концов длинных палочек). Прямые<i>AA</i><sub>i</sub>и <i>A'A</i><sub>i</sub>' пересекаются в точке <i>X</i><sub>i</sub>. Докажите, что точки<i>X</i><sub>1</sub>,...,<i>X</i><sub>n - 1</sub>образуют выпуклый многоугольник....
Поворот с центром <i>O</i>переводит прямую <i>l</i><sub>1</sub>в прямую <i>l</i><sub>2</sub>, а точку <i>A</i><sub>1</sub>, лежащую на прямой <i>l</i><sub>1</sub>, — в точку <i>A</i><sub>2</sub>. Докажите, что точка пересечения прямых <i>l</i><sub>1</sub>и <i>l</i><sub>2</sub>лежит на описанной окружности треугольника<i>A</i><sub>1</sub><i>OA</i><sub>2</sub>.
Даны точки <i>A</i>и <i>B</i>и окружность <i>S</i>. Постройте на окружности <i>S</i>такие точки <i>C</i>и <i>D</i>, что<i>AC</i>|<i>BD</i>и дуга<i>CD</i>имеет данную величину $\alpha$.
Докажите, что при повороте на угол$\alpha$с центром в начале координат точка с координатами (<i>x</i>,<i>y</i>) переходит в точку<div align="CENTER"> (<i>x</i> cos$\displaystyle \alpha$ - <i>y</i> sin$\displaystyle \alpha$, <i>x</i> sin$\displaystyle \alpha$ + <i>y</i> cos$\displaystyle \alpha$). </div>