Олимпиадные задачи из источника «параграф 4. Композиции поворотов» - сложность 3 с решениями
параграф 4. Композиции поворотов
НазадВнутри выпуклого четырехугольника<i>ABCD</i>построены равнобедренные прямоугольные треугольники<i>ABO</i><sub>1</sub>,<i>BCO</i><sub>2</sub>,<i>CDO</i><sub>3</sub>и <i>DAO</i><sub>4</sub>. Докажите, что если<i>O</i><sub>1</sub>=<i>O</i><sub>3</sub>, то<i>O</i><sub>2</sub>=<i>O</i><sub>4</sub>.
На сторонах треугольника<i>ABC</i>внешним образом построены квадраты с центрами <i>P</i>,<i>Q</i>и <i>R</i>. На сторонах треугольника<i>PQR</i>внутренним образом построены квадраты. Докажите, что их центры являются серединами сторон треугольника<i>ABC</i>.
На сторонах параллелограмма внешним образом построены квадраты. Докажите, что их центры образуют квадрат.
Докажите, что композиция двух поворотов на углы, в сумме не кратные 360<sup><tt>o</tt></sup>, является поворотом. В какой точке находится его центр и чему равен угол поворота? Исследуйте также случай, когда сумма углов поворотов кратна 360<sup><tt>o</tt></sup>.