Олимпиадные задачи из источника «параграф 1. Гомотетичные многоугольники» для 9 класса - сложность 3 с решениями

Пусть <i>M</i> — центр масс<i>n</i>-угольника<i>A</i>₁...<i>A</i>_n;<i>M</i>₁,...,<i>M</i>_n — центры масс (<i>n</i>- 1)-угольников, полученных из этого<i>n</i>-угольника выбрасыванием вершин<i>A</i>₁,...,<i>A</i>_nсоответственно. Докажите, что многоугольники<i>A</i>₁...<i>A</i>_nи <i>M</i>₁...<i>M</i>_nгомотетичны.

Пусть <i>R</i>и <i>r</i> — радиусы описанной и вписанной окружностей треугольника. Докажите, что<i>R</i>$\ge$2<i>r</i>, причем равенство достигается лишь для равностороннего треугольника.

Окружность <i>S</i>касается равных сторон<i>AB</i>и <i>BC</i>равнобедренного треугольника<i>ABC</i>в точках <i>P</i>и <i>K</i>, а также касается внутренним образом описанной окружности треугольника<i>ABC</i>. Докажите, что середина отрезка<i>PK</i>является центром вписанной окружности треугольника<i>ABC</i>.

Докажите, что точка пересечения продолжений боковых сторон трапеции, середины оснований и точка пересечения диагоналей лежат на одной прямой.