Олимпиадные задачи из источника «параграф 2. Гомотетичные окружности» для 8-11 класса - сложность 2-3 с решениями

Пусть <i>O</i> — центр вписанной окружности треугольника<i>ABC</i>,<i>D</i> — точка касания ее со стороной<i>AC</i>,<i>B</i>₁ — середина стороны<i>AC</i>. Докажите, что прямая<i>B</i>₁<i>O</i>делит отрезок<i>BD</i>пополам.

а) Вписанная окружность треугольника<i>ABC</i>касается стороны<i>AC</i>в точке <i>D</i>,<i>DM</i> — ее диаметр. Прямая<i>BM</i>пересекает сторону<i>AC</i>в точке <i>K</i>. Докажите, что<i>AK</i>=<i>DC</i>. б) В окружности проведены перпендикулярные диаметры<i>AB</i>и <i>CD</i>. Из точки <i>M</i>, лежащей вне окружности, проведены касательные к окружности, пересекающие прямую<i>AB</i>в точках <i>E</i>и <i>H</i>, а также прямые<i>MC</i>и <i>MD</i>, пересекающие прямую<i>AB</i>в точках <i>F</i>и <i>K</i>. Докажите, что<i>EF</i>=<i>KH</i...

На окружности фиксированы точки <i>A</i> и <i>B</i>, а точка <i>C</i> движется по этой окружности. Найдите геометрическое место точек пересечения медиан треугольников <i>ABC</i>.