Олимпиадные задачи из источника «параграф 6. Центр поворотной гомотетии» для 1-11 класса - сложность 3-4 с решениями

Имеется два правильных пятиугольника с одной общей вершиной. Вершины каждого пятиугольника нумеруются по часовой стрелке цифрами от 1 до 5, причём в общей вершине ставится цифра 1. Вершины с одинаковыми номерами соединены прямыми. Доказать, что полученные четыре прямые пересекаются в одной точке.

Параллелограмм<i>ABCD</i>отличен от ромба. Прямые, симметричные прямым<i>AB</i>и <i>CD</i>относительно диагоналей<i>AC</i>и <i>DB</i>соответственно, пересекаются в точке <i>Q</i>. Докажите, что <i>Q</i> — центр поворотной гомотетии, переводящей отрезок<i>AO</i>в отрезок<i>OD</i>, где <i>O</i> — центр параллелограмма.

Четыре пересекающиеся прямые образуют четыре треугольника. Докажите, что четыре окружности, описанные около этих треугольников, имеют одну общую точку.

Докажите, что центр поворотной гомотетии, переводящей отрезок<i>AB</i>в отрезок<i>A</i>₁<i>B</i>₁, совпадает с центром поворотной гомотетии, переводящей отрезок<i>AA</i>₁в отрезок<i>BB</i>₁.

По двум пересекающимся прямым с постоянными, но не равными скоростями движутся точки <i>A</i> и <i>B</i>.

Докажите, что существует такая точка <i>P</i>, что в любой момент времени  <i>AP</i> : <i>BP = k</i>,  где <i>k</i> – отношение скоростей.