Олимпиадные задачи из источника «параграф 6. Центр поворотной гомотетии» для 9-11 класса - сложность 4 с решениями

Параллелограмм<i>ABCD</i>отличен от ромба. Прямые, симметричные прямым<i>AB</i>и <i>CD</i>относительно диагоналей<i>AC</i>и <i>DB</i>соответственно, пересекаются в точке <i>Q</i>. Докажите, что <i>Q</i> — центр поворотной гомотетии, переводящей отрезок<i>AO</i>в отрезок<i>OD</i>, где <i>O</i> — центр параллелограмма.

Четыре пересекающиеся прямые образуют четыре треугольника. Докажите, что четыре окружности, описанные около этих треугольников, имеют одну общую точку.