Олимпиадные задачи из источника «глава 19. Гомотетия и поворотная гомотетия» для 10 класса - сложность 1-4 с решениями
глава 19. Гомотетия и поворотная гомотетия
НазадИмеется два правильных пятиугольника с одной общей вершиной. Вершины каждого пятиугольника нумеруются по часовой стрелке цифрами от 1 до 5, причём в общей вершине ставится цифра 1. Вершины с одинаковыми номерами соединены прямыми. Доказать, что полученные четыре прямые пересекаются в одной точке.
Прямые<i>A</i><sub>2</sub><i>B</i><sub>2</sub>и <i>A</i><sub>3</sub><i>B</i><sub>3</sub>,<i>A</i><sub>3</sub><i>B</i><sub>3</sub>и <i>A</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>1</sub>,<i>A</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>1</sub>и <i>A</i><sub>2</sub><i>B</i><sub>2</sub>пересекаются в точках <i>P</i><sub>1</sub>,<i>P</i><sub>2</sub>,<i>P</i><sub>3</sub>соответственно. а) Докажите, что описанные окружности треугольников<i>A</i><sub>1<...
По двум пересекающимся прямым с постоянными, но не равными скоростями движутся точки <i>A</i> и <i>B</i>.
Докажите, что существует такая точка <i>P</i>, что в любой момент времени <i>AP</i> : <i>BP = k</i>, где <i>k</i> – отношение скоростей.
Дана полуокружность с диаметром<i>AB</i>. Для каждой точки <i>X</i>этой полуокружности на луче<i>XA</i>откладывается точка <i>Y</i>так, что<i>XY</i>=<i>kXB</i>. Найдите ГМТ <i>Y</i>.
Трапеции<i>ABCD</i>и <i>APQD</i>имеют общее основание<i>AD</i>, причем длины всех их оснований попарно различны. Докажите, что на одной прямой лежат точки пересечения следующих пар прямых: а)<i>AB</i>и <i>CD</i>,<i>AP</i>и <i>DQ</i>,<i>BP</i>и <i>CQ</i>; б)<i>AB</i>и <i>CD</i>,<i>AQ</i>и <i>DP</i>,<i>BQ</i>и <i>CP</i>.
Общие внешние касательные к парам окружностей <i>S</i><sub>1</sub>и <i>S</i><sub>2</sub>,<i>S</i><sub>2</sub>и <i>S</i><sub>3</sub>,<i>S</i><sub>3</sub>и <i>S</i><sub>1</sub>пересекаются в точках <i>A</i>,<i>B</i>и <i>C</i>соответственно. Докажите, что точки <i>A</i>,<i>B</i>и <i>C</i>лежат на одной прямой.
Постройте треугольник<i>ABC</i>по сторонам<i>AB</i>и <i>AC</i>и биссектрисе <i>AD</i>.
Впишите в треугольник две равные окружности, каждая из которых касается двух сторон треугольника и другой окружности.
Докажите, что любой выпуклый многоугольник $\Phi$содержит два непересекающихся многоугольника $\Phi_{1}^{}$и $\Phi_{2}^{}$, подобных $\Phi$с коэффициентом 1/2.
Пусть <i>M</i> — центр масс<i>n</i>-угольника<i>A</i><sub>1</sub>...<i>A</i><sub>n</sub>;<i>M</i><sub>1</sub>,...,<i>M</i><sub>n</sub> — центры масс (<i>n</i>- 1)-угольников, полученных из этого<i>n</i>-угольника выбрасыванием вершин<i>A</i><sub>1</sub>,...,<i>A</i><sub>n</sub>соответственно. Докажите, что многоугольники<i>A</i><sub>1</sub>...<i>A</i><sub>n</sub>и <i>M</i><sub>1</sub>...<i>M</i><sub>n</sub>гомотетичны.