Олимпиадные задачи из источника «параграф 5. Выпуклая оболочка и опорные прямые» - сложность 4 с решениями

На столе расположено <i>n</i>картонных и <i>n</i>пластмассовых квадратов, причем никакие два картонных и никакие два пластмассовых квадрата не имеют общих точек, в том числе и точек границы. Оказалось, что множество вершин картонных квадратов совпадает с множеством вершин пластмассовых квадратов. Обязательно ли каждый картонный квадрат совпадает с некоторым пластмассовым?

На плоскости дано конечное число точек. Докажите, что из них всегда можно выбрать точку, для которой ближайшими к ней являются не более трех данных точек.

Докажите, что любой выпуклый многоугольник площади 1 можно поместить в прямоугольник площади 2.

На плоскости даны 2<i>n</i>+ 3 точки, никакие три из которых не лежат на одной прямой, а никакие четыре не лежат на одной окружности. Докажите, что из этих точек можно выбрать три точки так, что <i>n</i>из оставшихся точек лежат внутри окружности, проведенной через выбранные точки, а <i>n</i> — вне ее.