Олимпиадные задачи из источника «параграф 5. Теорема Хелли» - сложность 3-5 с решениями

Дано несколько параллельных отрезков, причем для любых трех из них найдется прямая, их пересекающая. Докажите, что найдется прямая, пересекающая все отрезки.

Докажите, что внутри любого выпуклого семиугольника есть точка, не принадлежащая ни одному из четырехугольников, образованных четверками его соседних вершин.

а) Дан выпуклый многоугольник. Известно, что для любых трёх его сторон можно выбрать точку<i>O</i>внутри многоугольника так, что перпендикуляры, опущенные из точки<i>O</i>на эти три стороны, попадают на сами стороны, а не на их продолжения. Докажите, что тогда такую точку<i>O</i>можно выбрать для всех сторон одновременно. б) Докажите, что в случае выпуклого четырёхугольника такую точку<i>O</i>можно выбрать, если её можно выбрать для любых двух сторон.

а) На плоскости даны четыре выпуклые фигуры, причем любые три из них имеют общую точку. Докажите, что тогда и все они имеют общую точку. б) На плоскости дано <i>n</i>выпуклых фигур, причем любые три из них имеют общую точку. Докажите, что все <i>n</i>фигур имеют общую точку (<i>теорема Хелли</i>).

На плоскости дано <i>n</i>точек, причем любые три из них можно накрыть кругом радиуса 1. Докажите, что тогда все <i>n</i>точек можно накрыть кругом радиуса 1.