Олимпиадные задачи из источника «глава 22. Выпуклые и невыпуклые многоугольники» для 10 класса - сложность 1-4 с решениями
глава 22. Выпуклые и невыпуклые многоугольники
НазадДокажите, что для любого тринадцатиугольника найдется прямая, содержащая ровно одну его сторону, однако при любом<i>n</i>> 13 существует<i>n</i>-угольник, для которого это неверно.
Многоугольник разрезан непересекающимися диагоналями на треугольники. Докажите, что по крайней мере две из этих диагоналей отсекают от него треугольники.
Докажите, что количество треугольников, на которые непересекающиеся диагонали разбивают<i>n</i>-угольник, равно<i>n</i>- 2.
Докажите, что сумма внутренних углов любого<i>n</i>-угольника равна(<i>n</i>- 2) 180<sup><tt>o</tt></sup>.
Докажите, что любой<i>n</i>-угольник можно разрезать на треугольники непересекающимися диагоналями.
Чему равно наибольшее число вершин невыпуклого<i>n</i>-угольника, из которых нельзя провести диагональ?
а) Докажите, что в любом многоугольнике, кроме треугольника, есть хотя бы одна диагональ, целиком лежащая внутри него.
б) Выясните, какое наименьшее число таких диагоналей может иметь <i>n</i>-угольник.
Докажите, что сумма внешних углов любого многоугольника, прилегающих к меньшим180<sup><tt>o</tt></sup>внутренним углам, не меньше360<sup><tt>o</tt></sup>.
Докажите, что если многоугольник таков, что из некоторой точки <i>O</i>виден весь его контур, то из любой точки плоскости полностью видна хотя бы одна его сторона.
а) Нарисуйте многоугольник и точку <i>O</i>внутри его так, чтобы ни одна сторона не была видна из нее полностью. б) Нарисуйте многоугольник и точку <i>O</i>вне его так, чтобы ни одна сторона не была видна из нее полностью.
Верно ли, что любой пятиугольник лежит по одну сторону от не менее чем двух своих сторон?
Докажите, что выпуклый многоугольник имеет центр симметрии тогда и только тогда, когда его можно представить в виде суммы нескольких отрезков.
Пусть<i>A</i>и<i>B</i>— фиксированные точки,$\lambda$и$\mu$— фиксированные числа. Выберем произвольную точку<i>X</i>и зададим точку<i>P</i>равенством$\overrightarrow{XP}$=$\lambda$$\overrightarrow{XA}$+$\mu$$\overrightarrow{XB}$. Докажите, что положение точки<i>P</i>не зависит от выбора точки<i>X</i>тогда и только тогда, когда$\lambda$+$\mu$= 1. Докажите также, что в этом случае точка<i>P</i>лежит на прямой<i>AB</i>.
На плоскости дано <i>n</i>точек, причем любые три из них можно накрыть кругом радиуса 1. Докажите, что тогда все <i>n</i>точек можно накрыть кругом радиуса 1.