Олимпиадные задачи из источника «параграф 3. Инварианты» для 10 класса

Квадратное поле разбито на 100 одинаковых участков, 9 из которых поросли бурьяном. Известно, что бурьян за год распространяется на те и только те участки, у каждого из которых не менее двух соседних участков уже поражены бурьяном (участки соседние, если они имеют общую сторону). Докажите, что полностью все поле бурьяном не зарастёт.

Выпуклый многоугольник разрезан на<i>p</i>треугольников так, что на их сторонах нет вершин других треугольников. Пусть<i>n</i>и<i>m</i>— количества вершин этих треугольников, лежащих на границе исходного многоугольника и внутри его. а) Докажите, что<i>p</i>=<i>n</i>+ 2<i>m</i>- 2. б) Докажите, что количество отрезков, являющихся сторонами полученных треугольников, равно 2<i>n</i>+ 3<i>m</i>- 3.

Дан выпуклый 2<i>n</i>-угольник <i>A</i>₁...<i>A</i>_2<i>n</i>. Внутри него взята точка <i>P</i>, не лежащая ни на одной из диагоналей.

Докажите, что точка <i>P</i> принадлежит чётному числу треугольников с вершинами в точках <i>A</i>₁,..., <i>A</i>_2<i>n</i>.