Олимпиадные задачи из источника «глава 24. Целочисленные решетки» - сложность 4 с решениями

Докажите, что для любого <i>n</i>существует окружность, внутри которой лежит ровно <i>n</i>целочисленных точек.

На бесконечном листе клетчатой бумаги <i>N</i>клеток окрашено в черный цвет. Докажите, что из этого листа можно вырезать конечное число квадратов так, что будут выполняться два условия: 1) все черные клетки лежат в вырезанных квадратах; 2) в любом вырезанном квадрате <i>K</i>площадь черных клеток составит не менее  1/5 и не более  4/5 площади <i>K</i>.

Вершины выпуклого многоугольника расположены в узлах целочисленной решётки, причём ни одна из его сторон не проходит по линиям решётки. Докажите, что сумма длин горизонтальных отрезков линий решётки, заключённых внутри многоугольника, равна сумме длин вертикальных отрезков.

Докажите, что при<i>n</i> ≠ 4 правильный<i>n</i>-угольник нельзя расположить так, чтобы его вершины оказались в узлах целочисленной решетки.

Существует ли правильный треугольник с вершинами в узлах целочисленной решетки?