Олимпиадные задачи из источника «параграф 8. Покрытия» - сложность 5 с решениями

На круглом столе радиуса<i>R</i>расположено без наложений<i>n</i>круглых монет радиуса<i>r</i>, причем больше нельзя положить ни одной монеты. Докажите, что<i>R</i>/<i>r</i>$\le$2$\sqrt{n}$+ 1.

Докажите, что любые<i>n</i>точек на плоскости всегда можно накрыть несколькими непересекающимися кругами так, что сумма их диаметров меньше<i>n</i>и расстояние между любыми двумя из них больше 1.

а) Квадрат со стороной 1 покрыт несколькими меньшими квадратами со сторонами, параллельными его сторонам. Докажите, что среди них можно выбрать непересекающиеся квадраты, сумма площадей которых не меньше 1/9. б) Площадь объединения нескольких кругов равна 1. Докажите, что из них можно выбрать несколько попарно непересекающихся кругов с общей площадью не менее 1/9.