Олимпиадные задачи из источника «параграф 7. Площади криволинейных фигур» - сложность 2-5 с решениями

На сторонах произвольного остроугольного треугольника <i>ABC</i>как на диаметрах построены окружности. При этом образуется три к внешнихк криволинейных треугольника и один к внутреннийк (рис.). Докажите, что если из суммы площадей к внешнихк треугольников вычесть площадь к внутреннегок треугольника, то получится удвоенная площадь треугольника <i>ABC</i>.

<div align="center"><img src="/storage/problem-media/56698/problem_56698_img_2.gif" border="1"></div>

На трех отрезках <i>OA</i>,<i>OB</i>и <i>OC</i>одинаковой длины (точка <i>B</i>лежит внутри угла <i>AOC</i>) как на диаметрах построены окружности. Докажите, что площадь криволинейного треугольника, ограниченного дугами этих окружностей и не содержащего точку <i>O</i>, равна половине площади (обычного) треугольника <i>ABC</i>.

В круге проведены два перпендикулярных диаметра, т. е. четыре радиуса, а затем построены четыре круга, диаметрами которых служат эти радиусы. Докажите, что суммарная площадь попарно общих частей этих кругов равна площади части исходного круга, лежащей вне рассматриваемых четырех кругов (рис.).

<div align="center"><img src="/storage/problem-media/56696/problem_56696_img_2.gif" border="1"></div>

На гипотенузе и катетах прямоугольного треугольника как на диаметрах построены полуокружности так, как показано на рисунке. Докажите, что сумма площадей заштрихованных "луночек" равна площади треугольника.<img src="/storage/problem-media/54505/problem_54505_img_2.gif">