Олимпиадные задачи из источника «параграф 3. Парабола» - сложность 1-4 с решениями

Пучок параллельных лучей света, отразившись от кривой<i>C</i>, сходится в точке<i>F</i>. Докажите, что<i>C</i>— парабола с фокусом<i>F</i>и осью, параллельной лучам света.

Прямая<i>l</i>получена из директрисы параболы гомотетией с центром в фокусе параболы и коэффициентом 2. Из точки<i>O</i>прямой<i>l</i>проведены касательные<i>OA</i>и<i>OB</i>к параболе. Докажите, что ортоцентром треугольника<i>AOB</i>служит вершина параболы.

Касательные к параболе в точках$\alpha$,$\beta$,$\gamma$образуют треугольник<i>ABC</i>(рис.). Докажите, что: а) описанная окружность треугольника ABC проходит через фокус параболы; б) высоты треугольника ABC пересекаются в точке, лежащей на директрисе параболы; в)$S_{\alpha\beta\gamma}=2S_{ABC}$; г)$\sqrt[3]{S_{\alpha\beta C}}+\sqrt[3]{S_{\beta\gamma A}}= \sqrt[3]{S_{\alpha\gamma B}}$. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/58505/problem_58505_img_7.gif" border="1"></div>

Докажите, что касательные<i>OA</i>и<i>OB</i>к параболе перпендикулярны тогда и только тогда, когда выполнено одно из следующих эквивалентных условий: (а) отрезок AB проходит через фокус параболы; (б) точка O лежит на директрисе параболы.

Из точки<i>O</i>проведены касательные<i>OA</i>и<i>OB</i>к параболе с фокусом <i>F</i>. Докажите, что$\angle$<i>AFB</i>= 2$\angle$<i>AOB</i>, причем луч<i>OF</i>— биссектриса угла <i>AFB</i>.

Докажите, что касательные к параболе 4<i>y</i>=<i>x</i>²в точках(2<i>t</i>₁,<i>t</i>²₁) и(2<i>t</i>₂,<i>t</i>₂²) пересекаются в точке(<i>t</i>₁+<i>t</i>₂,<i>t</i>₁,<i>t</i>₂).

Докажите, что пучок лучей света, параллельных оси параболы, после отражения от параболы сходится в ее фокусе.

а) Докажите, что расстояния от любой точки параболы до фокуса и до директрисы равны. б) Докажите, что множество точек, для которых расстояния до некоторой фиксированной точки и до некоторой фиксированной прямой равны, является параболой.

Докажите, что середины параллельных хорд параболы лежат на одной прямой, параллельной оси параболы.

Две параболы, оси которых перпендикулярны, пересекаются в четырех точках. Докажите, что эти точки лежат на одной окружности.

Окружность пересекает параболу в четырех точках. Докажите, что центр масс этих точек лежит на оси параболы.

Докажите, что с помощью гомотетии с центром (0, 0) параболу 2<i>py</i>=<i>x</i>²можно перевести в параболу<i>y</i>=<i>x</i>².