Олимпиадные задачи из источника «параграф 4. Площади частей, на которые разбит четырехугольник» для 5-10 класса - сложность 2 с решениями
параграф 4. Площади частей, на которые разбит четырехугольник
НазадПусть <i>K, L, M, N</i> – середины сторон <i>AB, BC, CD, AD</i> выпуклого четырёхугольника <i>ABCD</i>; отрезки <i>KM</i> и <i>LN</i> пересекаются в точке <i>O</i>.
Докажите, что <i>S<sub>AKON</sub> + S<sub>CLOM</sub> = S<sub>BKOL</sub> + S<sub>DNOM</sub></i>.
Точки <i>K</i>,<i>L</i>,<i>M</i>и <i>N</i>лежат на сторонах <i>AB</i>,<i>BC</i>,<i>CD</i>и <i>DA</i>параллелограмма <i>ABCD</i>, причем отрезки <i>KM</i>и <i>LN</i>параллельны сторонам параллелограмма. Эти отрезки пересекаются в точке <i>O</i>. Докажите, что площади параллелограммов <i>KBLO</i>и <i>MDNO</i>равны тогда и только тогда, когда точка <i>O</i>лежит на диагонали <i>AC</i>.