Олимпиадные задачи из источника «параграф 1. Вписанные и описанные четырехугольники» для 9 класса - сложность 3 с решениями

В треугольнике <i>ABC</i>проведены отрезки <i>PQ</i>и <i>RS</i>, параллельные стороне <i>AC</i>, и отрезок <i>BM</i>(рис.). Трапеции <i>RPKL</i>и <i>MLSC</i>описанные. Докажите, что трапеция <i>APQC</i>тоже описанная.

<div align="center"><img src="/storage/problem-media/57016/problem_57016_img_2.gif" border="1"></div>

Углы при основании <i>AD</i>трапеции <i>ABCD</i>равны 2$\alpha$и 2$\beta$. Докажите, что трапеция описанная тогда и только тогда, когда <i>BC</i>/<i>AD</i>=<i>tg</i>$\alpha$<i>tg</i>$\beta$.

Четырехугольник <i>ABCD</i>описан около окружности с центром <i>O</i>. В треугольнике <i>AOB</i>проведены высоты <i>AA</i>₁и <i>BB</i>₁, а в треугольнике <i>COD</i> — высоты <i>CC</i>₁и <i>DD</i>₁. Докажите, что точки <i>A</i>₁,<i>B</i>₁,<i>C</i>₁и <i>D</i>₁лежат на одной прямой.