Олимпиадные задачи из источника «параграф 3. Теорема Птолемея» для 4-8 класса - сложность 2-5 с решениями
параграф 3. Теорема Птолемея
НазадНа дуге <i>CD</i>описанной окружности квадрата <i>ABCD</i>взята точка <i>P</i>. Докажите, что <i>PA</i>+<i>PC</i>=$\sqrt{2}$<i>PB</i>.
Биссектриса угла <i>A</i>треугольника <i>ABC</i>пересекает описанную окружность в точке <i>D</i>. Докажите, что <i>AB</i>+<i>AC</i>$\leq$2<i>AD</i>.
Расстояния от центра описанной окружности остроугольного треугольника до его сторон равны <i>d</i><sub>a</sub>,<i>d</i><sub>b</sub>и <i>d</i><sub>c</sub>. Докажите, что <i>d</i><sub>a</sub>+<i>d</i><sub>b</sub>+<i>d</i><sub>c</sub>=<i>R</i>+<i>r</i>.
Докажите, что если четырёхугольник вписан в окружность, то сумма произведений длин двух пар его противоположных сторон равна произведению длин его диагоналей.