Олимпиадные задачи из источника «параграф 8. Произвольные выпуклые многоугольники» для 3-10 класса

Точка <i>O</i>, лежащая внутри выпуклого многоугольника, образует с каждыми двумя его вершинами равнобедренный треугольник. Докажите, что точка <i>O</i>равноудалена от вершин этого многоугольника.

Может ли выпуклый неправильный пятиугольник иметь ровно четыре стороны одинаковой длины и ровно четыре диагонали одинаковой длины? Может ли в таком пятиугольнике пятая сторона иметь общую точку с пятой диагональю?

Для каких <i>n</i>существует выпуклый <i>n</i>-угольник, у которого одна сторона имеет длину 1, а длины всех диагоналей — целые числа?

Сколько в выпуклом многоугольнике может быть сторон, равных по длине наибольшей диагонали?

Какое наибольшее число острых углов может иметь выпуклый многоугольник?