Олимпиадные задачи из источника «параграф 2. ГМТ - окружность или дуга окружности» для 1-9 класса - сложность 1-3 с решениями

Пусть <i>S</i> — окружность Аполлония для точек <i>A</i>и <i>B</i>, причем точка <i>A</i>лежит вне окружности <i>S</i>. Из точки <i>A</i>проведены касательные <i>AP</i>и <i>AQ</i>к окружности <i>S</i>. Докажите, что <i>B</i> — середина отрезка <i>PQ</i>.

На плоскости даны две точки <i>A</i>и <i>B</i>. Найдите ГМТ <i>M</i>, для которых <i>AM</i>:<i>BM</i>=<i>k</i>(<i>окружность Аполлония</i>).

Даны две точки <i>A</i>и <i>B</i>. Две окружности касаются прямой <i>AB</i>(одна — в точке <i>A</i>, другая — в точке <i>B</i>) и касаются друг друга в точке <i>M</i>. Найдите ГМТ <i>M</i>.

Найдите геометрическое место середин хорд данной окружности, проходящих через данную точку.

Отрезок постоянной длины движется по плоскости так, что его концы скользят по сторонам прямого угла <i>ABC</i>. По какой траектории движется середина этого отрезка?