Олимпиадные задачи из источника «глава 7. Геометрические места точек» для 7-10 класса - сложность 3-4 с решениями

Точки <i>M</i>и <i>N</i>таковы, что <i>AM</i>:<i>BM</i>:<i>CM</i>=<i>AN</i>:<i>BN</i>:<i>CN</i>. Докажите, что прямая <i>MN</i>проходит через центр <i>O</i>описанной окружности треугольника <i>ABC</i>.

Прямая <i>l</i>пересекает две окружности в четырех точках. Докажите, что четырехугольник, образованный касательными в этих точках, описанный, причем центр его описанной окружности лежит на прямой, соединяющей центры данных окружностей.

Докажите, что множество точек <i>X</i>, обладающих тем свойством, что <i>k</i>₁<i>A</i>₁<i>X</i>²+ ... +<i>k</i>_n<i>A</i>_n<i>X</i>²=<i>c</i>: а) при <i>k</i>₁+ ... +<i>k</i>_n$\ne$0 является окружностью или пустым множеством; б) при <i>k</i>₁+ ... +<i>k</i>_n= 0 является прямой, плоскостью или пустым множеством.

Докажите, что если перпендикуляры, восставленные из оснований биссектрис треугольника, пересекаются в одной точке, то треугольник равнобедренный.

Треугольник <i>ABC</i>правильный, <i>P</i> — произвольная точка. Докажите, что перпендикуляры, опущенные из центров вписанных окружностей треугольников <i>PAB</i>,<i>PBC</i>и <i>PCA</i>на прямые <i>AB</i>,<i>BC</i>и <i>CA</i>, пересекаются в одной точке.

На прямой <i>l</i>взяты точки <i>A</i>₁,<i>B</i>₁и <i>C</i>₁и из вершин треугольника <i>ABC</i>на эту прямую опущены перпендикуляры <i>AA</i>₂,<i>BB</i>₂и <i>CC</i>₂. Докажите, что перпендикуляры, опущенные из точек <i>A</i>₁,<i>B</i>₁и <i>C</i>₁на прямые <i>BC</i>,<i>CA</i>и <i>AB</i>, пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда $\overline{A_1B_1}$:$\overline{B_1C_1}$=$\overline{A_2B_2}$:$\overline{B_2C_2}$(от...

а) Перпендикуляры, опущенные из вершин треугольника <i>ABC</i>на соответствующие стороны треугольника <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁, пересекаются в одной точке. Докажите, что перпендикуляры, опущенные из вершин треугольника <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁на соответствующие стороны треугольника <i>ABC</i>, тоже пересекаются в одной точке. б) Прямые, проведенные через вершины треугольника <i>ABC</i>параллельно соответствующим сторонам треугольника <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>&l...

Точки <i>A</i>₁,<i>B</i>₁и <i>C</i>₁таковы, что <i>AB</i>₁=<i>AC</i>₁,<i>BC</i>₁=<i>BA</i>₁и <i>CA</i>₁=<i>CB</i>₁. Докажите, что перпендикуляры, опущенные из точек <i>A</i>₁,<i>B</i>₁и <i>C</i>₁на прямые <i>BC</i>,<i>CA</i>и <i>AB</i>, пересекаются в одной точке.

Докажите, что перпендикуляры, опущенные из центров вневписанных окружностей на соответственные стороны треугольника, пересекаются в одной точке.

Докажите, что высоты треугольника пересекаются в одной точке.

Докажите, что перпендикуляры, опущенные из точек <i>A</i>₁, <i>B</i>₁, <i>C</i>₁ на стороны <i>BC, CA, AB</i> треугольника <i>ABC</i>, пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда <i>A</i>₁<i>B</i>² + <i>C</i>₁<i>A</i>² + <i>B</i>₁<i>C</i>² = <i>B</i>₁<i>A</i>² + <i>A</i>₁<i>C</i>² + <i>C</i>₁<i>B</i>² (<i>теорема Карно</i>).

На плоскости даны два непересекающихся круга. Обязательно ли найдется точка <i>M</i>, лежащая вне этих кругов, удовлетворяющая такому условию: каждая прямая, проходящая через точку <i>M</i>, пересекает хотя бы один из этих кругов? Найдите ГМТ <i>M</i>, удовлетворяющих такому условию.

Дан четырехугольник <i>ABCD</i>, причем <i>AB</i><<i>BC</i>и <i>AD</i><<i>DC</i>. Точка <i>M</i>лежит на диагонали <i>BD</i>. Докажите, что <i>AM</i><<i>MC</i>.

Точки <i>A</i>,<i>B</i>и <i>C</i>таковы, что для любой четвертой точки <i>M</i>либо <i>MA</i>$\leq$<i>MB</i>, либо <i>MA</i>$\leq$<i>MC</i>. Докажите, что точка <i>A</i>лежит на отрезке <i>BC</i>.

Точки <i>P</i> и <i>Q</i> движутся с одинаковой постоянной скоростью <i>v</i> по двум прямым, пересекающимся в точке <i>O</i>.

Докажите, что на плоскости существует неподвижная точка <i>A</i>, расстояния от которой до точек <i>P</i> и <i>Q</i> в любой момент времени равны.

Две окружности пересекаются в точках <i>A</i>и <i>B</i>. Через точку <i>A</i>проведена секущая, вторично пересекающаяся с окружностями в точках <i>P</i>и <i>Q</i>. Какую линию описывает середина отрезка <i>PQ</i>, когда секущая вращается вокруг точки <i>A</i>?

Дан треугольник <i>ABC</i>. Найдите множество центров прямоугольников <i>PQRS</i>, вершины <i>Q</i>и <i>P</i>которых лежат на стороне <i>AC</i>, вершины <i>R</i>и <i>S</i> — на сторонах <i>AB</i>и <i>BC</i>соответственно.

Даны окружность и точка <i>P</i>внутри ее. Через каждую точку <i>Q</i>окружности проведем касательную. Перпендикуляр, опущенный из центра окружности на прямую <i>PQ</i>, и касательная пересекаются в точке <i>M</i>. Найдите ГМТ <i>M</i>.

Пусть <i>A</i>и <i>B</i> — фиксированные точки плоскости. Найдите ГМТ <i>C</i>, обладающих следующим свойством: высота <i>h</i>_bтреугольника <i>ABC</i>равна <i>b</i>.

Дана полуокружность с центром <i>O</i>. Из каждой точки <i>X</i>, лежащей на продолжении диаметра полуокружности, проводится касающийся полуокружности луч и на нем откладывается отрезок <i>XM</i>, равный отрезку <i>XO</i>. Найдите ГМТ <i>M</i>, полученных таким образом.

Найдите ГМТ <i>X</i>, лежащих внутри правильного треугольника <i>ABC</i>и обладающих тем свойством, что $\angle$<i>XAB</i>+$\angle$<i>XBC</i>+$\angle$<i>XCA</i>= 90^<tt>o</tt>.

а) На окружности фиксированы точки <i>A</i>и <i>B</i>, а точки <i>A</i>₁и <i>B</i>₁движутся по той же окружности так, что величина дуги <i>A</i>₁<i>B</i>₁остается постоянной; <i>M</i> — точка пересечения прямых <i>AA</i>₁и <i>BB</i>₁. Найдите ГМТ <i>M</i>. б) В окружность вписаны треугольники <i>ABC</i>и <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁, причем треугольник <i>ABC</i>неподвижен, а треугольник <i>A</i>&lt...

Треугольник <i>ABC</i>правильный, <i>M</i> — некоторая точка. Докажите, что если числа <i>AM</i>,<i>BM</i>и <i>CM</i>образуют геометрическую прогрессию, то знаменатель этой прогрессии меньше 2.

Докажите, что изодинамические центры лежат на прямой<i>KO</i>, где<i>O</i>— центр описанной окружности,<i>K</i>— точка Лемуана.

Пусть <i>AD</i>и <i>AE</i> — биссектрисы внутреннего и внешнего углов треугольника <i>ABC</i>и <i>S</i>_a — окружность с диаметром <i>DE</i>, окружности <i>S</i>_bи <i>S</i>_cопределяются аналогично. Докажите, что: а) окружности <i>S</i>_a,<i>S</i>_bи <i>S</i>_cимеют две общие точки <i>M</i>и <i>N</i>, причем прямая <i>MN</i>проходит через центр описанной окружности треугольника <i>ABC</i>; б) проекции точки <i>M</i>(и точки <i>N</i>) на стороны треугольника <i>ABC&...