Олимпиадные задачи из источника «глава 7. Геометрические места точек» для 9 класса - сложность 1-3 с решениями

Докажите, что множество точек <i>X</i>, обладающих тем свойством, что <i>k</i>₁<i>A</i>₁<i>X</i>²+ ... +<i>k</i>_n<i>A</i>_n<i>X</i>²=<i>c</i>: а) при <i>k</i>₁+ ... +<i>k</i>_n$\ne$0 является окружностью или пустым множеством; б) при <i>k</i>₁+ ... +<i>k</i>_n= 0 является прямой, плоскостью или пустым множеством.

Докажите, что перпендикуляры, опущенные из точек <i>A</i>₁, <i>B</i>₁, <i>C</i>₁ на стороны <i>BC, CA, AB</i> треугольника <i>ABC</i>, пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда <i>A</i>₁<i>B</i>² + <i>C</i>₁<i>A</i>² + <i>B</i>₁<i>C</i>² = <i>B</i>₁<i>A</i>² + <i>A</i>₁<i>C</i>² + <i>C</i>₁<i>B</i>² (<i>теорема Карно</i>).

На плоскости даны два непересекающихся круга. Обязательно ли найдется точка <i>M</i>, лежащая вне этих кругов, удовлетворяющая такому условию: каждая прямая, проходящая через точку <i>M</i>, пересекает хотя бы один из этих кругов? Найдите ГМТ <i>M</i>, удовлетворяющих такому условию.

Пусть <i>O</i> — центр правильного треугольника <i>ABC</i>. Найдите ГМТ <i>M</i>, удовлетворяющих следующему условию: любая прямая, проведенная через точку <i>M</i>, пересекает либо отрезок <i>AB</i>, либо отрезок <i>CO</i>.

Найдите ГМТ <i>X</i>, из которых можно провести касательные к данной дуге <i>AB</i>окружности.

Пусть <i>O</i> — центр прямоугольника <i>ABCD</i>. Найдите ГМТ <i>M</i>, для которых <i>AM</i>$\geq$<i>OM</i>,<i>BM</i>$\geq$<i>OM</i>,<i>CM</i>$\geq$<i>OM</i>и <i>DM</i>$\geq$<i>OM</i>.

Дан четырехугольник <i>ABCD</i>, причем <i>AB</i><<i>BC</i>и <i>AD</i><<i>DC</i>. Точка <i>M</i>лежит на диагонали <i>BD</i>. Докажите, что <i>AM</i><<i>MC</i>.

Точки <i>A</i>,<i>B</i>и <i>C</i>таковы, что для любой четвертой точки <i>M</i>либо <i>MA</i>$\leq$<i>MB</i>, либо <i>MA</i>$\leq$<i>MC</i>. Докажите, что точка <i>A</i>лежит на отрезке <i>BC</i>.

Внутри выпуклого многоугольника взяты точки <i>P</i>и <i>Q</i>. Докажите, что существует вершина многоугольника, менее удаленная от <i>Q</i>, чем от <i>P</i>.

Пусть <i>D</i>и <i>E</i> — середины сторон <i>AB</i>и <i>BC</i>остроугольного треугольника <i>ABC</i>, а точка <i>M</i>лежит на стороне <i>AC</i>. Докажите, что если <i>MD</i><<i>AD</i>, то <i>ME</i>><i>EC</i>.

Через середину каждой диагонали выпуклого четырехугольника проводится прямая, параллельная другой диагонали. Эти прямые пересекаются в точке <i>O</i>. Докажите, что отрезки, соединяющие точку <i>O</i>с серединами сторон четырехугольника, делят его площадь на равные части.

Точки <i>P</i> и <i>Q</i> движутся с одинаковой постоянной скоростью <i>v</i> по двум прямым, пересекающимся в точке <i>O</i>.

Докажите, что на плоскости существует неподвижная точка <i>A</i>, расстояния от которой до точек <i>P</i> и <i>Q</i> в любой момент времени равны.

Точки <i>A, B</i> и <i>C</i> лежат на одной прямой, причём <i>B</i> находится между <i>A</i> и <i>C</i>.

Найдите геометрическое место таких точек <i>M</i>, что радиусы описанных окружностей треугольников <i>AMB</i> и <i>CMB</i> равны.

Две окружности пересекаются в точках <i>A</i>и <i>B</i>. Через точку <i>A</i>проведена секущая, вторично пересекающаяся с окружностями в точках <i>P</i>и <i>Q</i>. Какую линию описывает середина отрезка <i>PQ</i>, когда секущая вращается вокруг точки <i>A</i>?

Дан треугольник <i>ABC</i>. Найдите множество центров прямоугольников <i>PQRS</i>, вершины <i>Q</i>и <i>P</i>которых лежат на стороне <i>AC</i>, вершины <i>R</i>и <i>S</i> — на сторонах <i>AB</i>и <i>BC</i>соответственно.

На плоскости даны четыре точки. Найдите множество центров прямоугольников, образуемых четырьмя прямыми, проходящими соответственно через данные точки.

а) На окружности фиксированы точки <i>A</i>и <i>B</i>, а точки <i>A</i>₁и <i>B</i>₁движутся по той же окружности так, что величина дуги <i>A</i>₁<i>B</i>₁остается постоянной; <i>M</i> — точка пересечения прямых <i>AA</i>₁и <i>BB</i>₁. Найдите ГМТ <i>M</i>. б) В окружность вписаны треугольники <i>ABC</i>и <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁, причем треугольник <i>ABC</i>неподвижен, а треугольник <i>A</i>&lt...

Точка <i>P</i>перемещается по описанной окружности квадрата <i>ABCD</i>. Прямые <i>AP</i>и <i>BD</i>пересекаются в точке <i>Q</i>, а прямая, проходящая через точку <i>Q</i>параллельно <i>AC</i>, пересекает прямую <i>BP</i>в точке <i>X</i>. Найдите ГМТ <i>X</i>.

На окружности фиксированы точки <i>A</i>и <i>B</i>, а точка <i>C</i>перемещается по этой окружности. Найдите множество точек пересечения: а) высот; б) биссектрис треугольников <i>ABC</i>.

Пусть <i>S</i> — окружность Аполлония для точек <i>A</i>и <i>B</i>, причем точка <i>A</i>лежит вне окружности <i>S</i>. Из точки <i>A</i>проведены касательные <i>AP</i>и <i>AQ</i>к окружности <i>S</i>. Докажите, что <i>B</i> — середина отрезка <i>PQ</i>.

На плоскости даны две точки <i>A</i>и <i>B</i>. Найдите ГМТ <i>M</i>, для которых <i>AM</i>:<i>BM</i>=<i>k</i>(<i>окружность Аполлония</i>).

Даны две точки <i>A</i>и <i>B</i>. Две окружности касаются прямой <i>AB</i>(одна — в точке <i>A</i>, другая — в точке <i>B</i>) и касаются друг друга в точке <i>M</i>. Найдите ГМТ <i>M</i>.

Найдите геометрическое место середин хорд данной окружности, проходящих через данную точку.

Отрезок постоянной длины движется по плоскости так, что его концы скользят по сторонам прямого угла <i>ABC</i>. По какой траектории движется середина этого отрезка?

а) Дан параллелограмм <i>ABCD</i>. Докажите, что величина <i>AX</i>²+<i>CX</i>²-<i>BX</i>²-<i>DX</i>²не зависит от выбора точки <i>X</i>. б) Четырехугольник <i>ABCD</i>не является параллелограммом. Докажите, что все точки <i>X</i>, удовлетворяющие соотношению <i>AX</i>²+<i>CX</i>²=<i>BX</i>²+<i>DX</i>², лежат на одной прямой, перпендикулярной отрезку, соединяющему середины диагоналей.