Олимпиадные задачи из источника «выпуск 8»
выпуск 8
НазадНайдите суммы
а) 1·<i>n</i> + 2(<i>n</i> – 1) + 3(<i>n</i> – 2) + ... + <i>n</i>·1.
б) <i>S<sub>n,k</sub></i> = (1·2·...·<i>k</i>)·(<i>n</i>(<i>n</i> – 1)...(<i>n</i> – <i>k</i> + 1)) + (2·3·...·(<i>k</i> + 1))·((<i>n</i> – 1)(<i>n</i> – 2)...(<i>n</i> – <i>k</i>)) + ... + ((<i>n</i> – <i>k</i> + 1)(<i>n</i> – <i>k</i> + 2)...·<i>n</i>)·(<i>k</i>(<i>k</i> – 1)·...·1).
Целые неотрицательные числа <i>x</i> и <i>y</i> удовлетворяют равенству <i>x</i>² – <i>mxy + y</i>² = 1 (1) тогда и только тогда, когда <i>x</i> и <i>y</i> – соседние члены последовательности (2): <i>a</i><sub>0</sub> = 0, <i>a</i><sub>1</sub> = 1, <i>a</i><sub>2</sub> = <i>m</i>, <i>a</i><sub>3</sub> = <i>m</i>² – 1, <i>a</i><sub>4</sub> = <i>m</i>³ – 2<i>m</i>, <i>a</i><sub>5</sub> = <i>m</i><sup>4</sup> – 3<i>m</i>² + 1, ..., в которой <i>a</i><sub><i>...
В каждую клетку бесконечного листа клетчатой бумаги вписано некоторое число так, что сумма чисел в любом квадрате, стороны которого идут по линиям сетки, по модулю не превосходит единицы.
а) Докажите существование такого числа <i>c</i>, что сумма чисел в любом прямоугольнике, стороны которого идут по линиям сетки, не больше <i>c</i>; другими словами, докажите, что суммы чисел в прямоугольниках ограничены.
б) Докажите, что можно взять <i>c</i> = 4.
в) Улучшите эту оценку – докажите, что утверждение верно для <i>c</i> = 3.
г) Постройте пример, показывающий, что при <i>c</i> > 3 утверждение неверно.
На плоскости нельзя расположить семь прямых и семь точек так, чтобы через каждую из точек проходили три прямые и на каждой прямой лежали три точки. Докажите это.
Окружность, построенная на высоте <i>AD</i> прямоугольного треугольника <i>ABC</i> как на диаметре, пересекает катет <i>AB</i> в точке <i>K</i>, а катет <i>AC</i> — в точке <i>M</i>. Отрезок <i>KM</i> пересекает высоту <i>AD</i> в точке <i>L</i>. Известно, что отрезки <i>AK</i>, <i>AL</i> и <i>AM</i> составляют геометрическую прогрессию (т.е. <!-- MATH $\frac{AK}{AL} = \frac{AL}{AM}$ --> ${\frac{AK}{AL}}$ = ${\frac{AL}{AM}}$). Найдите острые углы треугольника <i>ABC</i>.