Олимпиадные задачи из источника «выпуск 8» для 11 класса

Целые неотрицательные числа <i>x</i> и <i>y</i> удовлетворяют равенству   <i>x</i>² – <i>mxy + y</i>² = 1   (1)   тогда и только тогда, когда <i>x</i> и <i>y</i> – соседние члены последовательности  (2):  <i>a</i>₀ = 0,  <i>a</i>₁ = 1,  <i>a</i>₂ = <i>m</i>,  <i>a</i>₃ = <i>m</i>² – 1,  <i>a</i>₄ = <i>m</i>³ – 2<i>m</i>,  <i>a</i>₅ = <i>m</i>⁴ – 3<i>m</i>² + 1,  ...,  в которой  <i>a</i><sub><i>...

В каждую клетку бесконечного листа клетчатой бумаги вписано некоторое число так, что сумма чисел в любом квадрате, стороны которого идут по линиям сетки, по модулю не превосходит единицы.

  а) Докажите существование такого числа <i>c</i>, что сумма чисел в любом прямоугольнике, стороны которого идут по линиям сетки, не больше <i>c</i>; другими словами, докажите, что суммы чисел в прямоугольниках ограничены.

  б) Докажите, что можно взять  <i>c</i> = 4.

  в) Улучшите эту оценку – докажите, что утверждение верно для  <i>c</i> = 3.

  г) Постройте пример, показывающий, что при  <i>c</i> > 3  утверждение неверно.

На плоскости нельзя расположить семь прямых и семь точек так, чтобы через каждую из точек проходили три прямые и на каждой прямой лежали три точки. Докажите это.