Олимпиадные задачи из источника «1970 год» для 11 класса

Докажите, что следующие свойства тетраэдра равносильны:

1. все грани равновелики;

2. каждое ребро равно противоположному;

3. все грани равны;

4. центры описанной и вписанной сфер совпадают;

5. суммы углов при каждой вершине равны;

6. сумма плоских углов при каждой вершине равна 180<i>^o </i>;

7. развёртка тетраэдра представляет собой остроугольный треугольник, в котором проведены средние линии;

8. все грани – остроугольные треугольники с одинаковым радиусом описанной окружности;

9. ортогональная проекция тетраэдра на каждую из трёх плоскостей, параллельных двум противоположным рёбрам, – прямоугольник;

10. параллелепипед, полученный в результате проведения через противоположные рёбра трёх пар параллельных плоскостей, – прямоугольный;

11...

Имеется натуральное число  <i>n</i> > 1970.  Возьмём остатки от деления числа 2^<i>n</i> на 2, 3, 4, ..., <i>n</i>. Доказать, что сумма этих остатков больше 2<i>n</i>.

Около сферы радиуса 10 описан некоторый 19-гранник. Доказать, что на его поверхности найдутся две точки, расстояние между которыми больше 21.

В стране Анчурии, где правит президент Мирафлорес, приблизилось время новых президентских выборов. В стране ровно 20 миллионов избирателей, из которых только один процент поддерживает Мирафлореса (регулярная армия Анчурии). Мирафлорес, естественно, хочет быть избранным, но, с другой стороны, он хочет, чтобы выборы были "демократическими". "Демократическим голосованием" Мирафлорес называет вот что: все избиратели разбиваются на равные группы; каждая из этих групп вновь разбивается на некоторое количество равных групп, причём большие группы могут разбиваться на разное количество меньших групп, затем эти группы снова разбиваются и т.д. В самых мелких группах выбирают представителя группы "<i>выборщика</i>" для голосования в большей группе: выборщики в...

а) Из 19 шаров 2 радиоактивны. Про любую кучку шаров за одну проверку можно узнать, имеется ли в ней хотя бы один радиоактивный шар (но нельзя узнать, сколько их). Доказать, что за 8 проверок всегда можно выделить оба радиоактивных шара.б) Из 11 шаров два радиоактивны. Доказать, что менее чем за 7 проверок нельзя гарантировать нахождение обоих радиоактивных шаров,

а за 7 проверок их всегда можно обнаружить.

Все натуральные числа, в десятичной записи которых не больше<nobr><i>n</i> цифр,</nobr>разбили на два множества следующим образом. В первое множество входят числа с нечётной суммой цифр, а во<nobr>второе —</nobr>c чётной суммой цифр. Докажите, что для любого натурального числа<nobr><i>k</i> <font face="Symbol">£</font> <i>n</i></nobr>сумма<nobr><i>k</i>-х степеней</nobr>всех чисел первого множества равна сумме<nobr><i>k</i>-х степеней</nobr>всех чисел второго множества.

Целые неотрицательные числа <i>x</i> и <i>y</i> удовлетворяют равенству   <i>x</i>² – <i>mxy + y</i>² = 1   (1)   тогда и только тогда, когда <i>x</i> и <i>y</i> – соседние члены последовательности  (2):  <i>a</i>₀ = 0,  <i>a</i>₁ = 1,  <i>a</i>₂ = <i>m</i>,  <i>a</i>₃ = <i>m</i>² – 1,  <i>a</i>₄ = <i>m</i>³ – 2<i>m</i>,  <i>a</i>₅ = <i>m</i>⁴ – 3<i>m</i>² + 1,  ...,  в которой  <i>a</i><sub><i>...

В каждую клетку бесконечного листа клетчатой бумаги вписано некоторое число так, что сумма чисел в любом квадрате, стороны которого идут по линиям сетки, по модулю не превосходит единицы.

  а) Докажите существование такого числа <i>c</i>, что сумма чисел в любом прямоугольнике, стороны которого идут по линиям сетки, не больше <i>c</i>; другими словами, докажите, что суммы чисел в прямоугольниках ограничены.

  б) Докажите, что можно взять  <i>c</i> = 4.

  в) Улучшите эту оценку – докажите, что утверждение верно для  <i>c</i> = 3.

  г) Постройте пример, показывающий, что при  <i>c</i> > 3  утверждение неверно.

На плоскости нельзя расположить семь прямых и семь точек так, чтобы через каждую из точек проходили три прямые и на каждой прямой лежали три точки. Докажите это.

<img align="RIGHT" src="/storage/problem-media/73564/problem_73564_img_2.gif"><i>n</i>одинаковых монет лежат на столе, образуя замкнутую цепочку. Центры монет образуют выпуклый многоугольник. Сколько оборотов сделает монета такого же размера за время, пока она один раз прокатится по внешней стороне всей цепочки, как показано на рисунке?Как изменится ответ, если радиус этой монеты в <nobr><i>k</i> раз</nobr> больше радиуса каждой из монет цепочки?

В множестве, состоящем из <i>n</i> элементов, выбрано 2^<i>n</i>–1 подмножеств, каждые три из которых имеют общий элемент.

Докажите, что все эти подмножества имеют общий элемент.

Для любого натурального числа <i>n</i>, большего единицы, квадрат отношения произведения первых <i>n</i> нечётных чисел к произведению первых <i>n</i> чётных чисел больше числа ¹/_4<i>n</i>, но меньше числа ³/_8<i>n</i>. Докажите это.

Если многочлен с целыми коэффициентами при трёх различных целых значениях переменной принимает значение 1, то он не имеет ни одного целого корня. Докажите это.

<img src="/storage/problem-media/73549/problem_73549_img_2.gif" width="182" height="178" vspace="10" hspace="20" align="right">У выпуклого белого многогранника некоторые грани покрашены чёрной краской так, что никакие две чёрные грани не имеют общего ребра. Докажите, что если<nobr>а) чёрных</nobr>граней больше половины;<nobr>б) сумма</nobr>площадей чёрных граней больше суммы площадей белых граней, то в этот многогранник нельзя вписать шар.

Двое играют в такую игру. Из кучки, где имеется 25 спичек, каждый берёт себе по очереди одну, две или три спички. Выигрывает тот, у кого в конце

игры – после того, как все спички будут разобраны, – окажется чётное число спичек.

  а) Кто выигрывает при правильной игре – начинающий или его партнёр? Как он должен играть, чтобы выиграть?

  б) Как изменится ответ, если считать, что выигрывает забравший нечётное число спичек?

  в) Исследуйте эту игру в общем случае, когда спичек  2<i>n</i> + 1  и разрешено брать любое число спичек от 1 <nobr>до <i>m</i>.</nobr>

Учащиеся одной школы часто собираются группами и ходят в кафе-мороженое. После такого посещения они ссорятся настолько, что никакие двое из них после этого вместе мороженое не едят. К концу года выяснилось, что в дальнейшем они могут ходить в кафе-мороженое только поодиночке. Докажите, что если число посещений было к этому времени больше 1, то оно не меньше числа учащихся в школе.

<table border="0"> <tr> <td> <img align="left" src="/storage/problem-media/73538/problem_73538_img_2.gif"> </td> <td valign="top">    а) На рис. 1 плоскость покрыта квадратами пяти цветов. Центры квадратов одного и того же цвета расположены в вершинах сетки из одинаковых квадратов. При каком числе <i>n</i> цветов возможно аналогичное заполнение плоскости?    б) На рис. 2 плоскость покрыта шестиугольниками семи цветов так, что центры шестиугольников одного и того же цвета образуют вершины решётки из одинаковых правильных треугольников. При каком числе <i>n</i> цветов возможно аналогичное построение?    <b>Примечание</b>. Имеются в виду только такие заполнения плоскости фигурками...

Дана сфера<nobr>радиуса 1.</nobr>На ней расположены равные окружности γ₀, γ₁, ..., γ_<i>n</i><nobr>радиуса <i>r</i></nobr><nobr>(<i>n</i> ≥ 3).</nobr><nobr>Окружность γ₀</nobr>касается всех окружностей γ₁, ..., γ_<i>n</i>; кроме того, касаются друг друга окружности γ₁и γ₂, γ₂и γ₃, ..., γ_<i>n</i><nobr>и γ₁.</nobr>При каких<i>n</i>это возможно? Вычислите соответствующий<nobr>радиус <i...

Внутри квадрата со стороной 1 расположено несколько окружностей, сумма длин которых равна 10.

Докажите, что найдётся прямая, пересекающая по крайней мере четыре из этих окружностей.