Олимпиадные задачи из источника «выпуск 1» для 9 класса - сложность 2-4 с решениями

Два мудреца играют в следующую игру. Выписаны числа 0, 1, 2,..., 1024. Первый мудрец зачёркивает 512 чисел (по своему выбору), второй зачёркивает 256 из оставшихся, затем снова первый зачёркивает 128 чисел и т.д. На десятом шаге второй мудрец зачёркивает одно число; остаются два числа. После этого второй мудрец платит первому разницу между этими числами. Как выгоднее играть первому мудрецу? Как второму? Сколько уплатит второй мудрец первому, если оба будут играть наилучшим образом? (Ср. с задачей<a href="https://mirolimp.ru/tasks/178710">178710</a>и с задачей<a href="https://mirolimp.ru/tasks/178716">178716</a>.)

<table> <tr> <td valign="middle"> <img src="/storage/problem-media/73600/problem_73600_img_2.jpg"> </td> <td valign="top"> а) Пусть <nobr>0 < <i>k</i> < 1.</nobr> На сторонах <i>AB</i>, <i>BC</i> и <i>CA</i> треугольника <i>ABC</i> отметим точки <i>E</i>, <i>А</i> и <i>G</i> таким образом, что <i>AE</i> : <i>EB</i> = <i>BF</i> : <i>FC</i> = <i>CG</i> : <i>GA</i> = <i>k</i>. Найдите отношение площади треугольника, образованного прямыми <i>АF</i>, <i>BG</i> <nobr>и <i>CE</i>,</nobr> к...

Можно ли из 18 плиток размером 1×2 выложить квадрат так, чтобы при этом не было ни одного прямого "шва", соeдиняющего противоположные стороны квадрата и идущего по краям плиток? Например, такое расположение плиток, как на рисунке, не годится, так как здесь есть красный "шов".<div align="center"><img src="/storage/problem-media/73598/problem_73598_img_2.gif"></div>

Докажите, что для любого нечётного натурального числа <i>a</i> существует такое натуральное число <i>b</i>, что  2^<i>b</i> – 1  делится на <i>a</i>.

На плоскости даны прямая <i>l</i> и две точки <i>P</i> и <i>Q</i>, лежащие по одну сторону от неё. Найдите на прямой <i>l</i> такую точку <i>M</i>, для которой расстояние между основаниями высот треугольника <i>PQM</i>, опущенных на стороны <i>PM</i> и <i>QM</i>, наименьшее.