Олимпиадные задачи из источника «выпуск 10» для 11 класса
выпуск 10
НазадДокажите, что если для чисел <i>p</i><sub>1</sub>, <i>p</i><sub>2</sub>, <i>q</i><sub>1</sub> и <i>q</i><sub>2</sub> выполнено неравенство (<i>q</i><sub>1</sub> – <i>q</i><sub>2</sub>)² + (<i>p</i><sub>1</sub> – <i>p</i><sub>2</sub>)(<i>p</i><sub>1</sub><i>q</i><sub>2</sub> – <i>p</i><sub>2</sub><i>q</i><sub>1</sub>) < 0, то квадратные трёхчлены
<i>x</i>² + <i>p</i><sub>1</sub><i>x</i> + <i>q</i><sub>1</sub> и <i>x</i&...
а) Докажите, что любая прямая, делящая пополам площадь и периметр треугольника, проходит через центр вписанной окружности.
б) Докажите аналогичное утверждение для любого описанного многоугольника.
В вершинах правильного 12-угольника расставлены числа 1 и –1 так, что во всех вершинах, кроме одной, стоят единицы. Разрешается изменять знак в любых <i>k</i> подряд идущих вершинах. Можно ли такими операциями добиться того, чтобы единственное число –1 сдвинулось в соседнюю с исходной вершину, если а) <i>k</i> = 3; б) <i>k</i> = 4; в) <i>k</i> = 6.