Олимпиадные задачи из источника «выпуск 7» для 10-11 класса - сложность 2-5 с решениями

а) На плоскости даны<i>n</i>векторов, длина каждого из которых<nobr>равна 1.</nobr>Сумма всех<i>n</i>векторов равна нулевому вектору. Докажите, что векторы можно занумеровать так, чтобы при всех<nobr><i>k</i> = 1,</nobr>2, ...,<i>n</i>выполнялось следующее условие: длина суммы первых<nobr><i>k</i> векторов</nobr>не<nobr>превышает 3.</nobr>б) Докажите аналогичное утверждение для <i>n</i> векторов с <nobr>суммой 0,</nobr> длина каждого из которых не <nobr>превосходит 1.</nobr> в) Можно ли заменить <nobr>число 3</nobr> в <nobr>пункте а)</nobr> меньшим? Постарайтесь улучшить оценку и в <nobr>пункте б).</nobr>

На отрезке [0; 1] задана<nobr>функция <i>f</i>.</nobr>Эта функция во всех точках неотрицательна,<nobr><i>f</i>(1) = 1,</nobr>наконец, для любых двух неотрицательных чисел<i>x</i>₁и<i>x</i>₂, сумма которых не<nobr>превосходит 1,</nobr>величина<nobr><i>f</i> (<i>x</i>₁ + <i>x</i>₂)</nobr>не превосходит суммы величин<nobr><i>f</i>(<i>x</i>₁)</nobr>и<nobr><i>f</i>(<i>x</i>₂).</nobr>а) Докажите для любого числа <i>x</i> отрезка [0; 1] неравенство...