Олимпиадные задачи из источника «1990 год» для 10 класса - сложность 1-4 с решениями
На какое максимальное число частей могут разбить координатную плоскость <i>xOy</i> графики 100 квадратных трехчлёнов вида
<i>y = a<sub>n</sub>x</i>² + <i>b<sub>n</sub>x + c<sub>n</sub></i> (<i>n</i> = 1, 2, ..., 100)?
В прямоугольной таблице <i>m</i> строк и <i>n</i> столбцов (<i>m < n</i>). В некоторых клетках таблицы стоят звёздочки, так что в каждом столбце стоит хотя бы одна звёздочка. Докажите, что существует хотя бы одна такая звёздочка, что в одной строке с нею находится больше звёздочек, чем с нею в одном столбце.
Натуральный ряд представлен в виде объединения некоторого множества попарно непересекающихся целочисленных бесконечных арифметических прогрессий с положительными разностями <i>d</i><sub>1</sub>, <i>d</i><sub>2</sub>, <i>d</i><sub>3</sub>, ... . Может ли случиться, что при этом сумма <sup>1</sup>/<sub><i>d</i><sub>1</sub></sub> + <sup>1</sup>/<sub><i>d</i><sub>2</sub></sub> + ... + <sup>1</sup>/<i><sub>d<sub>k</sub></sub></i> не превышает 0,9? Рассмотрите случаи:
а) общее число прогрессий конечно;
б) прогрессий бесконечное число (в этом случае условие нужно понимат...
Можно ли так выбрать шар, треугольную пирамиду и плоскость, чтобы всякая плоскость, параллельная выбранной, пересекала шар и пирамиду по фигурам равной площади?