Олимпиадные задачи из источника «выпуск 2»

Круг поделили хордой <i>AB</i> на два круговых сегмента и один из них повернули на некоторый угол вокруг точки <i>A</i>. При этом повороте точка <i>B</i> перешла в точку <i>D</i> (см. рис.). <div align="center"><img src="/storage/problem-media/55754/problem_55754_img_2.gif"></div>Докажите, что отрезки, соединяющие середины дуг сегментов с серединой отрезка <i>BD</i>, перпендикулярны друг другу.

Последовательность {<i>a_n</i>} определяется правилами:  <i>a</i>₀ = 9,   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/35392/problem_35392_img_2.gif">  .

Докажите, что в десятичной записи числа <i>a</i>₁₀ содержится не менее 1000 девяток.