Пусть C и E – середины соответственно оставшейся на месте дуги AB и дуги AD, M – середина отрезка BD.   Первый способ. Пусть K и H – середины отрезков AD и AB (см. рис.), F – диаметрально противоположна точке C (середина "старой" дуги AB). HM и KM – средние линии равнобедренного треугольника ABD, поэтому AKMH – ромб. Следовательно,  EH ⊥ AD || KM,  CK ⊥ AB || HM  и  ∠EHM = ∠MKC  как углы с взаимно перпендикулярными сторонами. Кроме того,  CH : HM = CH : AH = AH : HF = MK : KE,  значит, треугольники CHM и MKE подобны. А так как у них две пары сторон взаимно перпендикулярны, то и третья тоже:  EM ⊥ MC.

  Второй способ. Рассмотрим композицию поворота вокруг точки C, переводящего точку B в A, и поворота вокруг точки E, переводящего A в D (оба поворота против часовой стрелки). Поскольку  ∠BCA + ∠AED = 180°,  эта композиция есть центральная симметрия. Центр симметрии – середина отрезка между точкой B и её образом D при рассматриваемой композиции, то есть точка M. Образ C₁ точки C при этой композиции лежит на продолжении отрезка CM за точку M  (C₁M = MC).  С другой стороны, при первом повороте точка C остается на месте, а при втором – переходит в точку C₁. Поэтому  EC₁ = >EC.  Значит, ME – медиана, а следовательно, высота равнобедренного треугольника CEC₁, то есть  EM ⊥ MC.

Ответ задачи отсутствует