Олимпиадные задачи из источника «выпуск 4» для 10 класса - сложность 2-3 с решениями

В углу шахматной доски размером <i>m×n</i> полей стоит ладья. Двое по очереди передвигают её по вертикали или по горизонтали на любое число полей; при этом не разрешается, чтобы ладья стала на поле или прошла через поле, на котором она уже побывала (или через которое уже проходила). Проигрывает тот, кому некуда ходить. Кто из играющих может обеспечить себе победу: начинающий или его партнер, и как ему следует играть?

Существует ли в пространстве куб, расстояния от вершин которого до данной плоскости равны 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7?

На сторонах треугольника <i>ABC</i> во внешнюю сторону построены квадраты <i>ABMN, BCKL, ACPQ</i>. На отрезках <i>NQ</i> и <i>PK</i> построены квадраты <i>NQZT</i> и <i>PKXY</i>. Разность площадей квадратов <i>ABMN</i> и <i>BCKL</i> равна <i>d</i>. Найдите разность площадей квадратов <i>NQZT</i> и <i>PKXY</i>

  а) в случае, если угол <i>ABC</i> прямой,

  б) в общем случае.