Олимпиадные задачи из источника «7 класс» для 1-6 класса - сложность 1-3 с решениями

Мальчик Стёпа говорит: позавчера мне было 10 лет, а в следующем году мне исполнится 13. Может ли такое быть?

31-го декабря Антон сказал, что после Нового Года всё, сказанное им до Нового Года станет ложью. Правду ли он сказал?

a) Докажите, что в любой футбольной команде есть два игрока, которые родились в один и тот же день недели. b) Докажите, что среди жителей Москвы найдутся десять тысяч, празднующих день рождения в один и тот же день.

На столе лежат четыре одинаковые монеты. Разрешается двигать монеты, не отрывая их от стола. Нужно расположить (не пользуясь измерительными инструментами!) монеты так, чтобы можно было положить на стол пятую монету такого же размера, касающуюся этих четырёх.

Монету в 1 копейку обкатывают вокруг такой же монеты. а) Сколько она сделает полных оборотов вокруг<i>своей</i>оси? б) А если её будут обкатывать вокруг монеты в полдоллара? (Напомним, что диаметр копейки - 15 мм, диаметр монеты в полдоллара - 30 мм.)

Улитке нужно забраться на дерево высотой 10 метров. За день она поднимается на 4 метра, а за ночь сползает на 3.

Когда она доползет до цели, если стартовала улитка утром в понедельник?

Несколько гномов, навьючив свою поклажу на пони, отправились в дальний путь. Их заметили тролли, которые насчитали в караване 36 ног и 15 голов. Сколько было гномов, и сколько пони?

На Луне имеют хождение монеты достоинством в 1, 15 и 50 фертингов. Незнайка отдал за покупку несколько монет и получил сдачу – на одну монету больше. Какова наименьшая возможная цена покупки?

Три шахматиста <i>A, B</i> и <i>C</i> сыграли матч-турнир (каждый с каждым сыграл одинаковое число партий). Может ли случиться, что по числу очков <i>A</i> занял первое место, <i>C</i> – последнее, а по числу побед, наоборот, <i>A</i> занял последнее место, <i>C</i> – первое (за победу присуждается одно очко, за ничью – пол-очка)?

Легко можно разрезать квадрат на два равных треугольника или два равных четырёхугольника.

А как разрезать квадрат на два равных пятиугольника или два равных шестиугольника?

В дремучем Муромском лесу из-под земли бьют десять источников мёртвой воды: от N 1 до N 10. Из первых девяти источников мёртвую воду может взять каждый, но источник N 10 находится в пещере Кощея, в которую никто, кроме самого Кощея, попасть не может.

На вкус и цвет мёртвая вода ничем не отличается от обыкновенной, однако, если человек выпьет из какого-нибудь источника, он умрёт. Спасти его может только одно: если он запьёт ядом из источника, номер которого больше. Например, если он выпьет из седьмого источника, то ему надо обязательно запить ядом N 8, N 9 или N 10. Если он выпьет не седьмой яд, а девятый, ему может помочь только яд N 10. А если он сразу выпьет десятый яд, то ему уже ничто не поможет.

Иванушка-дурачок вызвал Кощея на дуэль. Условия дуэли были такие: каждый приносит с собо...

Ковровая дорожка покрывает лестницу из 9 ступенек. Длина и высота лестницы равны 2 метрам. Хватит ли этой ковровой дорожки, чтобы покрыть лестницу из 10 ступенек длиной и высотой 2 метра?

Найти две такие обыкновенные дроби – одну со знаменателем 8, другую со знаменателем 13, чтобы они не были равны, но разность между большей и меньшей из них была как можно меньше.

На доске написаны числа 1, 2, 3, ..., 1984, 1985. Разрешается стереть с доски любые два числа и вместо них записать модуль их разности. В конце концов на доске останется одно число. Может ли оно равняться нулю?

Кузнечик прыгает по прямой. В первый раз он прыгнул на 1 см в какую-то сторону, во второй раз – на 2 см и так далее.

Докажите, что после 1985 прыжков он не может оказаться там, где начинал.

Из набора домино выбросили все кости с шестёрками. Можно ли оставшиеся кости выложить в ряд?

Учитель рисует на листке бумаги несколько кружков и спрашивает одного ученика: Сколько здесь кружков?''. Семь''- отвечает ученик. Правильно. Так сколько здесь кружков?'' - опять спрашивает учитель другого ученика. Пять'' - отвечает тот. ``Правильно'' - снова говорит учитель. Так сколько же кружков он нарисовал на листке?

Докажите, что в любой компании из пяти человек есть двое, имеющие одинаковое число знакомых в этой компании.

Дано 12 целых чисел. Докажите, что из них можно выбрать два, разность которых делится на 11.