Олимпиадные задачи из источника «1998/99» для 5-6 класса

На доске написаны числа

  а) 1, 2. 3, ..., 1997, 1998;

  б) 1, 2, 3, ..., 1998, 1999;

  в) 1, 2, 3, ..., 1999, 2000.

Разрешается стереть с доски любые два числа, заменив их разностью большего и меньшего. Можно ли, выполнив эту операцию много раз. получить на доске единственное число – 0? Если да, то как это сделать?

Доказать: произведение

  а) двух нечётных чисел нечётно;

  б) чётного числа с любым целым числом чётно.

Доказать: сумма

  а) любого количества чётных слагаемых чётна;

  б) чётного количества нечётных слагаемых чётна;

  в) нечётного количества нечётных слагаемых нечётна.

Конь вышел с поля a1 и через несколько ходов вернулся на него. Докажите, что он сделал чётное число ходов.