Олимпиадные задачи из источника «Белорусские республиканские математические олимпиады» для 11 класса - сложность 3-5 с решениями

Доказать, что каковы бы ни были числа <i>a, b, c</i>, по крайней мере одно из уравнений

    <i>a</i> sin <i>x + b</i> cos <i>x + c</i> = 0,   2<i>a</i> tg <i>x + b</i> ctg <i>x</i> + 2<i>c</i> = 0

имеет решение.

Середины противоположных рёбер тетраэдра соединены. Доказать, что сумма трёх полученных отрезков меньше полусуммы рёбер тетраэдра.

Все целые числа произвольным образом разбиты на две группы. Доказать, что хотя бы в одной из групп найдутся три числа, одно из которых есть среднее арифметическое двух других.

На плоскости дан квадрат со стороной<i> a </i>. Найти объём тела, состоящего из всех точек пространства, расстояние от которых до части плоскости, ограниченной квадратом, не больше<i> a </i>.

Найти минимальное и максимальное значения аргумента комплексных чисел <i>y</i>, удовлетворяющих условию  |<i>y</i> + ¹/_<i>y</i>| = <img src="/storage/problem-media/109169/problem_109169_img_2.gif"> .

Решить уравнение  (<i>x</i>² – <i>x</i> + 1)⁴ – 10<i>x</i>²(<i>x</i>² – <i>x</i> + 1)² + 9<i>x</i>⁴ = 0.

В плоскости расположена прямая<i> y </i>и прямоугольный треугольник<i> ABC </i>с катетами<i> AC=</i>3<i>; BC=</i>4. Вершина<i> C </i>находится на расстоянии 10 от прямой<i> y </i>. Угол между<i> y </i>и направлением катета<i> AC </i>равен<i> α </i>. Надо определить угол<i> α </i>, при котором поверхность, полученная вращением треугольника<i> ABC </i>вокруг прямой<i> y </i>, будет наименьшей.

Если через точку<i> O </i>, расположенную внутри треугольной пирамиды<i> ABCD </i>, провести отрезки<i> AA₁,BB₁,CC₁,DD₁ </i>, где<i> A₁ </i>лежит на грани, противоположной вершине<i> A </i>,<i> B₁ </i>– на грани, противоположной вершине<i> B </i>, и т.д., то имеет место равенство <center><i>

A₁O/A₁A+B₁O/B₁B+C₁O/C₁C+D₁O/D₁D=</i>1<i>.

</i></center>

Доказать, что для любого целого <i>n</i> число   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109157/problem_109157_img_2.gif">   можно представить в виде разности   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109157/problem_109157_img_3.gif">   где <i>k</i> – целое.

В треугольной пирамиде периметры всех её граней равны. Найти площадь полной поверхности этой пирамиды, если площадь одной её грани равна<i> S </i>.

Сколько корней имеет уравнение<i> sin x=x/</i>100?

Ребро правильного тетраэдра равно<i> a </i>. Найти стороны и площадь сечения, параллельного двум его скрещивающимся рёбрам и отстоящего от центра тетраэдра на расстояние<i> b </i>, причём0<i><b<a<img src="/storage/problem-media/109148/problem_109148_img_2.gif">/</i>4.

Доказать, что если в треугольной пирамиде две высоты пересекаются, то две другие высоты также пересекаются.

Доказать, что существует линия длины<i> <img src="/storage/problem-media/109035/problem_109035_img_2.gif">+1 </i>, которую нельзя покрыть плоской выпуклой фигурой площади<i> S </i>.

Что больше: log₃4 или log₄5?

Около сферы описан пространственный четырёхугольник. Доказать, что точки касания лежат в одной плоскости.

На плоскости дано<i> k </i>точек, расположенных так, что на каждой прямой, соединяющей две из этих точек, лежит по крайней мере ещё одна из них. Доказать, что все<i> k </i>точек лежат на одной прямой.

На диагонали<i> AC </i>нижней грани единичного куба<i> ABCDA₁B₁C₁D₁ </i>отложен отрезок<i> AE </i>длины<i> l </i>. На диагонали<i> B₁D₁ </i>его верхней грани отложен отрезок<i> B₁F </i>длиной<i> ml </i>. При каком<i> l </i>(и фиксированном<i> m>0 </i>) длина отрезка<i> EF </i>будет наименьшей?

Решить систему уравнений     <img align="middle" src="/storage/problem-media/108989/problem_108989_img_2.gif">

Зная, что<i> x²+x+1=0 </i>, определить<i> x¹⁴+1/x¹⁴ </i>.