Олимпиадные задачи из источника «Белорусские республиканские математические олимпиады» для 4-9 класса - сложность 4-5 с решениями

Дан ряд чисел<i> 1,1,2,3,5,8,13,21,34,..., </i>каждое из которых, начиная с третьего, равно сумме двух предыдущих. Доказать, что каждое натуральное число<i> n>2 </i>равно сумме нескольких различных чисел указанного ряда.

Провести хорду данной окружности, параллельную данному диаметру, так, чтобы эта хорда и диаметр были основаниями трапеций с наибольшим периметром.

На плоскости дано<i> k </i>точек, расположенных так, что на каждой прямой, соединяющей две из этих точек, лежит по крайней мере ещё одна из них. Доказать, что все<i> k </i>точек лежат на одной прямой.

На окружности даны три точки<i> A,B,C </i>. Построить (циркулем и линейкой) на этой окружности четвёртую точку<i> D </i>так, чтобы в полученный четырёхугольник можно было бы вписать окружность.

Доказать, что если <center><i>

(x(y+z-x))/ x=(y(z+x-y))/ y=(z(x+y-z))/ z,

</i></center> то<i> x^yy^x=z^yy^z=x^zz^x </i>.

Дан острый угол<i> ABC </i>. На стороне<i> BC </i>отложены отрезки<i> BD= </i>4 см и<i> BE= </i>14 см. Найти на стороне<i> BA </i>такие две точки<i> M </i>и<i> N </i>, чтобы<i> MN=3 </i>см и<i> <img src="/storage/problem-media/108981/problem_108981_img_2.gif"> DMN=<img src="/storage/problem-media/108981/problem_108981_img_2.gif"> MNE </i>.

В данную окружность вписать прямоугольник так, чтобы две данные точки внутри окружности лежали на сторонах прямоугольника.

Докажите, что основания перпендикуляров, опущенных из произвольной точки описанной окружности на стороны треугольника (или их продолжения), лежат на одной прямой (<i>прямая Симсона.</i>)